Probl`emes de Math´ematiques Etude d’une fonction d´ependant d’un param`etre ´Enonc´e Etude d’une fonction d´ependant d’un param`etre Pour tout r´eel λ, on d´efinit la fonction fλ par : fλ(x) = x � ���� x − 1 λx + 1 ����. On note Cλ la courbe repr´esentative de fλ. PREMI`ERE PARTIE 1. Donner le domaine de d´efinition Dλ de fλ. 2. Sur Dλ, fλ est-elle continue, d´erivable ? 3. Etudier l’allure de la courbe Cλ quand λ tend vers l’infini. Le cas ´ech´eant, on pr´ecisera l’´equation de l’asymptote, et le placement de Cλ par rapport `a celle-ci. 4. Etudier le sens de variation de fλ et dresser son tableau de variation. On sera amen´e `a distinguer les cas suivants : λ < −9, λ = −9, λ ∈] − 9, −1[, λ = −1, λ ∈] − 1, 0[, λ = 0 et λ > 0 5. Montrer que l’ensemble Γ des points `a tangente horizontale des courbes Cλ est une partie (`a d´eterminer exactement) de la courbe C de l’application x �→ ϕ(x) = x � ;;;2x − 1;;;. 6. Montrer qu’une transformation g´eom´etrique simple permet de d´eduire C de C0. 7. Pr´eciser la concavit´e de C0. 8. Etudier les positions respectives des courbes Cλ. 9. Repr´esenter sur un mˆeme graphique les courbes C−20, C−9, C−2, C−1/2, C0, C5 NB : utiliser un rep`ere orthogonal (unit´e 5cm sur Ox et 2cm sur Oy). DEUXI`EME PARTIE Dans cette partie, on suppose λ > 0, et on note Iλ = � 1 0 fλ(x) dx. 1. Calculer J1 = � 1 0 dt λt2 + 1, puis J2 = � 1 0 dt (λt2 + 1)2 . 2. Montrer que Iλ = 2(λ + 1) � 1 0 t2 − t4 (λt2 + 1)3 dt. Indication : Utiliser le changement de variable t = � 1−x λx+1. 3. Montrer que Iλ = λ + 1 2λ � 1 0 1 − 3t2 (λt2 + 1)2 dt. Indication : Int´egration par parties dans le r´esultat pr´ec´edent. 4. D´eterminer les r´eels a et b tels que ∀ t ∈ R, 1 − 3t2 (λt2 + 1)2 = a (λt2 + 1)2 + b λt2 + 1. 5. En d´eduire Iλ. 6. On pose I0 = � 1 0 f0(x) dx. (a) Calculer I0. (b) Donner le d´eveloppement limit´e de arctan(x) en 0, `a l’ordre 5. (c) Montrer que limλ → 0 Iλ = I0. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.