Probl`emes de Math´ematiques Fonctions convexes f telles que f(x+1)-f(x)=ln(x) et f(1)=0 ´Enonc´e Fonctions convexes f telles que f(x+1)-f(x)=ln(x) et f(1)=0 Question de cours D´emontrer la proposition suivante : Proposition (une caract´erisation de la convexit´e) Une application f : I → R est convexe si et seulement si : Pour tout a < b < c de I, f(b) − f(a) b − a ≤ f(c) − f(a) c − a ≤ f(c) − f(b) c − b Probleme Rappel Soit f une application d´efinie sur un intervalle ouvert I, `a valeurs r´eelles. Si f est convexe, alors elle est d´erivable `a gauche et d´erivable `a droite en tout point de I. On rappelle ´egalement que pour tout x de I on a l’in´egalit´e f ′ g(x) ≤ f ′ d(x). On note P le probl`eme suivant : Trouver les applications f : R+∗ → R telles que : � � � � � (i) L’application f est convexe sur R+∗ (ii) Pour tout x > 0, on a : f(x + 1) − f(x) = ln x (iii) L’application f s’annule au point 1 Premi`ere partie. Dans cette partie, on suppose que le probl`eme P admet au moins une solution. On ´etudie les propri´et´es d’une solution f de ce probl`eme. 1. (a) Calculer f(n), pour tout n de N∗. [ S ] (b) Calculer la limite de f en 0. [ S ] (c) Justifier l’existence du r´eel m = inf [1,2] f(x). Montrer que x ≥ 2 ⇒ f(x) ≥ ln(x−1) + m. On en d´eduit en particulier que lim x→+∞ f(x) = +∞. [ S ] 2. On d´efinit l’application df sur R+∗ par df(x) = f ′ d(x) − f ′ g(x). (a) Pour x > 0 et 0