Probl`emes de Math´ematiques ´Equations fonctionnelles ´Enonc´e ´Equations fonctionnelles Premi`ere partie On se propose de d´eterminer les applications continues f : R → R, qui v´erifient : ∀ (x, y) ∈ R2, f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y) (1) 1. D´eterminer les solutions constantes de (1). [ S ] 2. On suppose que f est une solution non constante de (1). Soit F la primitive de f qui s’annule `a l’origine. (a) Montrer que pour tous x, y de R, on a : F(x + y) − F(x − y) = 2f(x)F(y). [ S ] (b) Prouver que f est de classe C∞ sur R et que : � ∀ x ∈ R, f′′(x) = f′′(0)f(x) f(0) = 1, f′(0) = 0 [ S ] 3. D´eterminer toutes les solutions continues de (1). [ S ] Deuxi`eme partie On se propose de d´eterminer les applications continues f, g : R → R, qui v´erifient : ∀ (x, y) ∈ R2, f(x − y) = f(x)f(y) + g(x)g(y) (2) 1. Montrer que pour tout couple solution (f, g) de (2), l’application f est paire. [ S ] 2. Soit (f, g) un couple solution de (2). On suppose que f n’est pas constante. (a) Montrer que pour tous x, y de R, on a : g(−x)g(−y) = g(x)g(y). Montrer que g n’est pas paire, et en d´eduire que g est impaire. [ S ] (b) Calculer f(0), ainsi que f2(x) + g2(x) pour tout x de R. [ S ] (c) Montrer que f est solution de (1). [ S ] 3. Trouver tous les couples (f, g) solutions de (2). [ S ] Troisi`eme partie On se propose de d´eterminer les applications continues f, g : R → R, qui v´erifient : ∀ (x, y) ∈ R2, f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)g(y) (3) 1. Soit (f, g) un couple solution de (3). On suppose que f, g ne sont pas identiquement nulles. On note F, G les primitives de f, g qui s’annulent en 0. (a) Montrer que pour tous x, y de R, on a F(x + y) − F(x − y) = 2f(x)G(y). [ S ] (b) En d´eduire que f et g sont de classe C∞ sur R. [ S ] (c) Prouver que l’application g v´erifie la relation (1). [ S ] (d) Montrer que pour tous x, y de R, on a : f′′(x)g(y) = f(x)g′′(y). [ S ] 2. D´eterminer tous les couples solutions de l’´equation (3). [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.