Probl`emes de Math´ematiques Quatre ´etudes de fonctions ´Enonc´e Quatre ´etudes de fonctions Exercice 1 On d´efinit la fonction f : x �→ e1/x � ;;;x(x + 2);;;. 1. Pr´eciser le domaine de d´efinition, de continuit´e, de d´erivabilit´e de f. [ S ] 2. Indiquer les limites de f aux bornes de son domaine de d´efinition. Pr´eciser l’allure de la courbe y = f(x) au voisinage de x = −2 et au voisinage de x = 0. [ S ] 3. ´Etudier le sens de variations de f, et dresser son tableau de variations. [ S ] 4. ´Etudier l’existence d’une asymptote oblique quand x → −∞ ou quand x → +∞. Donner le placement de la courbe par rapport `a cette asymptote. [ S ] 5. ´Etudier la concavit´e de f et pr´eciser les points d’inflexion. [ S ] 6. Tracer soigneusement la courbe repr´esentative de f. [ S ] Exercice 2 On consid`ere l’application f d´efinie par f(x) = ;;;tan x;;; cos x. 1. Indiquer le domaine de d´efinition de f. Que dire de la d´erivabilit´e de f sur ce domaine ? Montrer qu’on peut r´eduire l’´etude de f `a l’intervalle ]0, π[. Pour tout x de � 0, π 2 � , comparer f(π − x) et f(x). Que peut-on en d´eduire ? [ S ] 2. Montrer que l’application f peut ˆetre prolong´ee par continuit´e en x = 0 et en x = π 2. [ S ] 3. ´Etudier le sens de variations de f sur � 0, π 2 � , et dresser son tableau de variations. On donnera une valeur approch´ee de l’abscisse x0 pour laquelle f ′(x0) = 0. Proc´eder `a une ´etude analogue sur �π 2, π � [ S ] 4. Pr´eciser l’allure de la courbe y = f(x) au voisinage de x = 0 et de x = π 2. [ S ] 5. Tracer soigneusement la courbe repr´esentative de f sur un intervalle contenant [0, π]. [ S ] Exercice 3 On consid`ere l’application f d´efinie par f(x) = x x2 x2−1. 1. Indiquer le domaine de d´efinition de f. Que dire de la d´erivabilit´e de f sur ce domaine ? Pr´eciser les limites de f aux bornes de son domaine de d´efinition. [ S ] 2. ´Etudier le sens de variations de f et dresser son tableau de variations. [ S ] 3. Indiquer l’allure de la courbe y = f(x) au voisinage de x = 0, de x = 1, et de +∞. [ S ] 4. Tracer soigneusement la courbe repr´esentative de f. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.