Exercices de Math´ematiques Int´egration sur un intervalle quelconques (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 Calculer � +∞ 0 dx (x2 + a2) √ 1 + x2 apr`es avoir prouv´e son existence. Exercice 2 Mˆeme exercice avec : � 1 0 ln x (x − 1)√x√1 − x dx Exercice 3 Mˆeme exercice avec : � +∞ 1 �1 x − arcsin 1 x � dx Exercice 4 Mˆeme exercice avec : � 1 0 dx 3√ 1 − x3 Exercice 5 Pour quels polynˆomes la fonction x → � P(t) − t2 − t − 1 est-elle int´egrable sur R+ ? Exercice 6 Soit E l’ensemble des fonctions continues de R+ dans R, de carr´e int´egrable sur R+. 1. Montrer que E est un espace vectoriel. 2. Montrer qu’on d´efinit un produit scalaire sur E en posant < f, g >= � +∞ 0 f(x)g(x) dx. Pour tout f de E, on pose T(f)(x) = 1 x � x 0 f(t) dt (si x > 0) et T(f)(0) = f(0). 3. Montrer que T est un endomorphisme de E. 4. Montrer que, ∀f ∈ E : � +∞ 0 T(f)2(x) dx ≤ 4 � +∞ 0 f 2(x) dx. Exercice 7 Soit f ∈ C2(R+, R). Montrer que si f 2 et f ′′2 sont int´egrables, alors f ′2 est int´egrable. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.