Exercices de Math´ematiques Int´egration sur un intervalle quelconques (III) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 On pose, ∀a ∈ R, f(a) = � +∞ 0 exp(−x2) cos(ax) dx. 1. Montrer que pour tout r´eel a, f ′(a) = −a � +∞ 0 exp(−x2) sin(ax) dx 2. En d´eduire que f (a) = √π 2 exp(−a2 4 ) (On rappelle que � +∞ 0 exp(−x2) dx = √π 2 .) Exercice 2 1. Pour tout P, Q de R[X], on pose < P, Q >= � +∞ 0 P(x)Q(x) exp(−x2) dx. Montrer qu’on d´efinit ainsi un produit scalaire sur R[X]. 2. Montrer que Hn = (−1)n exp(x2)(exp(−x2))(n) est un polynˆome de degr´e n. 3. Montrer que les (Hn)n≥0 forment une base orthonorm´ee de R[X]. Exercice 3 On pose f(x) = � +∞ 1 t−x 1 + t dt. 1. Etudier le domaine de d´efinition, la continuit´e et la monotonie de f. 2. Trouver une relation entre f(x) et f(x + 1). 3. En d´eduire limx → +∞ xf(x) et limx → 0+ xf(x). Exercice 4 Soient f, g : R+ → R continues (f ´etant int´egrable). D´eterminer lim λ → +∞ � +∞ 0 f(x) 1 + λg(x) dx. Exercice 5 Montrer qu’on peut donner un sens aux int´egrales : � +∞ 0 cos(x2) dx et � +∞ 0 cos2 � x2� dx. Exercice 6 Etudier l’existence de l’int´egrale : � 1 0 ;;;1 − xα;;;β dx. Exercice 7 Mˆeme question avec : � +∞ 0 ;;; ln(1 − x);;;α x2 dx. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.