Probl`emes de Math´ematiques Familles d’int´egrales `a param`etres ´Enonc´e Familles d’int´egrales `a param`etres (D’apr`es le probl`eme 2 de l’´epreuve de Maths 3 du concours 1999 de E3A) Partie I Soit x un r´eel strictement positif. Soit y un r´eel. On note fx,y l’application de IR+∗ dans IR d´efinie par : fx,y(t) = e−t − e−xt cos(yt) t . 1. Montrer que f est int´egrable sur IR+∗. 2. Soit t un r´eel strictement positif. Prouver l’in´egalit´e 0 ≤ 1 − cos(yt) ≤ ;;;y;;; t. En d´eduire que ;;;fx,y(t);;; ≤ ;;;e(x−1)t − 1;;; t + ;;;y;;;. 3. On pose F(x, y) = � +∞ 0 fx,y(t) dt. Soit Fx l’application d´efinie sur IR par Fx(y) = F(x, y). (a) Montrer que Fx est continue sur IR (on pourra distinguer t > 1 et t < 1). On ´enoncera avec grande pr´ecision le th´eor`eme utilis´e. (b) Montrer que Fx est de classe C1 sur IR et calculer son application d´eriv´ee. (c) Montrer que pour tout ε > 0, on a : � +∞ ε e−t − e−xt t dt = � xε ε e−t t dt. En d´eduire Fx(0) puis F(x, y). Partie II Dans cette partie, y d´esigne un r´eel strictement positif. 1. (a) Montrer l’existence des limites lim A→+∞ � A 1 cos(yt) t dt et lim A→+∞ � A 0 e−t − cos(yt) t dt. Cette derni`ere limite sera not´ee F(0, y) = � +∞ 0 e−t − cos(yt) t dt. (b) Soit z un r´eel strictement positif. On d´efinit une application h sur IR+∗ par : h(t) = e−tz e− t y − cos(t) t . Montrer que l’application est int´egrable sur IR+∗. (c) Montrer l’existence de : � +∞ 0 e− t y − cos(t) t dt = lim A→+∞ � A 0 e− t y − cos(t) t dt. 2. On pose : ∀z > 0, H(z) = � +∞ 0 e−tz e− t y − cos(t) t dt et H(0) = � +∞ 0 e− t y − cos(t) t dt. (a) Montrer que l’application H est continue sur IR+∗. (b) D´eterminer lim z→+∞ H(z). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.