Exercices de Math´ematiques Fonctions de plusieurs variables (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 Soit ϕ ∈ C1(R, R), telle que ϕ(0) = 0 et le champ E = ((1 + x2)ϕ(x), −2xyϕ(x), −z). D´eterminer ϕ pour que E d´erive d’un potentiel vecteur et identifier un tel potentiel. Exercice 2 D´eterminer les fonctions de classe C1 sur R2 telles que x2 + y2 + � x∂f ∂x + y∂f ∂y � f = 0. Exercice 3 1. Prolonger par continuit´e f(x, y) = ;;;y;;; x exp � −;;;y;;; x2 � . 2. Le prolongement est-il de classe C1 ? Exercice 4 Montrer que E(M) = � −y x2 + y2, x x2 + y2, 1 1 + z2 � est un champ de gradients. Exercice 5 Trouver les applications de classe C1 sur R2 telles que ∂f ∂x = 3∂f ∂y . Exercice 6 Soit f, g : R → R, de classe C1. On suppose qu’il existe k, k′ dans [0, 1[ tels que ∀x ∈ R, ;;;f ′(x);;; ≤ k et ;;;g′(x);;; ≤ k′. Montrer que ϕ(x, y) = (x + g(y), y + f(x)) est un C1-diff´eomorphisme de R2. Exercice 7 Soit f : Rp → R, de classe C2, convexe. 1. Montrer que si gradu(f) = 0, alors f admet en u un minimum absolu. 2. En quel point du plan f(M) = AM +BM +CM est-elle minimum (A, B, C non align´es) ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.