Exercices de Math´ematiques Fonctions de plusieurs variables (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 Deux cercles (C), (C′) du plan, de rayons R, R′, sont tangents ext´erieurement en O. Un point M d´ecrit (C) et un point M ′ d´ecrit (C′). Trouver l’aire maximum du triangle OMM ′. Exercice 2 R´esoudre y2∂2f ∂x2 − 2xy ∂2f ∂x∂y + x2∂2f ∂y2 = x∂f ∂x + y∂f ∂y − f, o`u f est de classe C2. Exercice 3 On pose h(x, y) = xpyq x2 − xy + y2 avec (p, q) ∈ R2, et h(0, 0) = 0. Etudier h en (0, 0). Exercice 4 Etudier les extremums locaux de f(x, y) = x4 + y4 − x2 − 2λxy − y2 (λ ∈ R). Exercice 5 Soit f : R+ × R+ → R, continue. Montrer que l’application (x, y) �→ ϕ(x, y) = � x 0 �� y 0 f(u, v) dv � du est de classe C1. Exercice 6 Etudier, au voisinage de l’origine, f(x, y) = y(x2 + xy2 + y4) x2 + y4 . Exercice 7 Soit u(x, y, z) = f(r), avec r = (x2 + y2 + z2)1/2, et f de classe C2 sur R+∗. Rechercher les solutions de ∆u = λu, avec λ ∈ R. Exercice 8 Soit f : R → R, et g : R2 → R, d´efinie par g(x, y) = f(x) − f(y) x − y . A quelle condition sur f l’application g admet-elle un prolongement continu sur R2 ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.