Cours de Math´ematiques Fonctions de plusieurs variables Sommaire Fonctions de plusieurs variables Sommaire I Applications continˆument diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 Applications coordonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Applications partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 D´eriv´ee suivant un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.5 Applications continˆument diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.6 Matrice Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.7 DL d’ordre 1 d’une application C1 (compl´ement) . . . . . . . . . . . . 7 II Op´erations sur les applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . . 8 II.1 Combinaisons lin´eaires et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.2 Composition des applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.3 Invariance de la diff´erentielle (compl´ement) . . . . . . . . . . . . . . . 9 III Diff´eomorphismes et changements de variables . . . . . . . . . . . . 10 III.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.2 Caract´erisation des C1-diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.3 Changements de variables classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 IV Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.3 Op´erations sur les applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . 13 V Extremums locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 V.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 V.2 Points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 VI Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 VI.1 Fonctions implicites d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 VI.2 Fonctions implicites de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 VII Formes diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 VII.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 VII.2 D´efinition d’une forme diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 VII.3 Formes diff´erentielles exactes, ou ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.