Probl`emes de Math´ematiques S´eries de Fourier ´Enonc´e S´eries de Fourier D’apr`es le concours 1997 de l’E.N.S.A.I.T. Pr´eliminaire Soient f et g deux fonctions r´eelles de la variable r´eelle, continues sur le segment [a, b]. Prouver l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : ���� � b a f(x)g(x) dx ���� ≤ �� b a f 2(x) dx �� b a g2(x) dx Notations IR d´esigne l’ensemble des nombres r´eels. On note D = [0, 2π] × [0, 2π]. On d´efinit f : D ⊂ IR2 → IR en posant : ∀(x, y) ∈ D, � f(x, y) = y(2π − x) si x > y f(x, y) = x(2π − y) si y ≥ x On note E l’ensemble des fonctions de classe C2 de [0, 2π] dans IR qui s’annulent en 0 et en 2π. Etude de la fonction f 1. Montrer que f est une fonction continue sur D. 2. Soit x0 un ´el´ement de ]0, 2π[. ´Etudier l’existence de la d´eriv´ee partielle de f par rapport `a x en (x0, x0). 3. On se propose de rechercher le maximum et le minimum absolu de f sur D. Pour cela, pour tout x de [0, 2π], ´etudier les variations de l’application ϕ d´efinie sur [0, 2π] par ϕ(y) = f(x, y). En d´eduire alors les extrema absolus de f sur D, ainsi que les points o`u ils sont atteints. Etude d’un endomorphisme associ´e `a f 1. (a) Montrer que E est un espace vectoriel sur IR. (b) Pour toute fonction ϕ de E, on pose N(ϕ) = �� 2π 0 ϕ2(t) dt. Montrer que l’on d´efinit ainsi une norme sur E. 2. Soit ϕ un ´el´ement de E. On d´efinit la fonction ψ de [0, 2π] dans IR par : ψ(x) = � 2π 0 ϕ(y)f(x, y) dy. (a) Montrer que l’application α : ϕ → ψ est un endomorphisme de E. (b) D´eterminer le noyau de α. Est-ce que α est injective ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.