Probl`emes de Math´ematiques P´eriode du pendule simple ´Enonc´e P´eriode du pendule simple D’apr`es le concours Centrale-Sup´elec 1998, premi`ere ´epreuve, fili`ere TSI Le but du probl`eme est la d´efinition et l’´etude de certaines fonctions. Cette ´etude est suivie d’une application relative au pendule simple. Notations – IN d´esigne l’ensemble des entiers naturels. – IR d´esigne l’ensemble des nombres r´eels. – Si f est une fonction r´eelle de la variable r´eelle, f 2 d´esigne la fonction : x �→ f(x)2. – C1(IRn, IRp) d´esigne l’ensemble des applications de classe C1 de IRn vers IRp, o`u n et p sont deux entiers naturels non nuls. – k d´esigne un ´el´ement fix´e de l’intervalle [0, 1[ de IR. Partie I - Pr´eliminaire 1. Soit l’application φ : IR2 → IR2 suivante : (u, v) �→ �1 2(u + v), 1 2(u − v) � D´emontrer que φ est bijective et d´efinir son application r´eciproque φ−1. 2. Pour toute application f : IR2 → IR, (x, y) �→ f(x, y), on note g la compos´ee f ◦ φ. (a) D´emontrer que f est dans C1(IR2, IR) si et seulement si g y est ´egalement. (b) On suppose que f est dans C1(IR2, IR). Exprimer les d´eriv´ees partielles ∂g ∂u et ∂g ∂v de g en fonction de ∂f ∂x et ∂f ∂y . (c) En d´eduire l’ensemble E suivant : E = � f ∈ C1(IR2, IR), ∂f ∂x = ∂f ∂y � . 3. D´emontrer que si f est dans C1(IR2, IR) et v´erifie : ∀(x, y) ∈ IR2, f(x, y) = f(y, x) et ∂f ∂x(x, y) = ∂f ∂x(y, x) alors il existe α dans C1(IR, IR) v´erifiant : ∀(x, y) ∈ IR2, f(x, y) = α(x + y) Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.