Probl`emes de Math´ematiques Un op´erateur de d´erivation partielle ´Enonc´e Un op´erateur de d´erivation partielle Notations Ω est le sous-ensemble de R2 d´efini par : (x, y) ∈ Ω ⇔ 0 < y < x. E est l’ensemble des applications de classe C∞ sur Ω et `a valeurs r´eelles. Pour tout f de E, on note T(f) l’application : (x, y) �→ x∂f ∂y (x, y) + y∂f ∂x(x, y). Il est clair qu’on d´efinit ainsi un endomorphisme T de E. Pour tout k de N∗, on note T k = T ◦ T ◦ · · · ◦ T (k fois). Pour simplifier, on pourra noter T kf plutˆot que T k(f). Par convention, T 0 est l’identit´e de E. Permi`ere partie 1. Pour tout (p, q) de N2, soit fp,q d´efinie sur R2 par fp,q(x, y) = xpyq. (a) Pour tout (j, k) de N2, calculer ∂j+kfp,q ∂xj ∂yk . [ S ] (b) Montrer que la famille des fp,q, quand (p, q) parcourt N2, est libre. Dans toute la suite, on note P le sous-espace de E engendr´e par cette famille. [ S ] (c) Pour tout n de N, on note Pn le sous-espace vectoriel de P engendr´e par les appli- cations fp,q telles que p + q ≤ n. Calculer la dimension de Pn et en donner une base. [ S ] 2. Soit f un ´el´ement non nul de E, et soit λ un r´eel, tels que Tf = λf. (a) Ecrire la relation v´erifi´ee par g d´efinie sur Ω par g(x, y) = (x + y)−λf(x, y). [ S ] (b) Montrer que le changement de variable � u = x2 − y2 v = y r´ealise un C∞-diff´eomorphisme de Ω sur un ouvert U de R2 `a pr´eciser. [ S ] (c) Avec ce changement de variables, montrer qu’il existe une application ϕ : R+∗ → R, de classe C∞, telle que f(x, y) = (x + y)λ ϕ(x2 − y2) pour tout (x, y) de Ω. [ S ] 3. (a) Pour tout n de N, montrer que Pn est stable par T. Montrer que P est stable par T. A-t-on l’´egalit´e T(P) = P ? [ S ] (b) Pour tout (p, q) de N2, et tout (x, y) de R2, on pose hp,q(x, y) = fp,q(x + y, x − y). Montrer que les hp,q forment une base de P. [ S ] (c) Pour tout (p, q) de N2, montrer qu’il existe un r´eel λp,q tel que T(hp,q) = λp,q hp,q. [ S ] 4. R´esoudre l’´equation 2 T 4f − T 3f − 6 T 2f − Tf + 2f = 0 dans P. Indication : factoriser A = 2x4 − x3 − 6x2 − x + 2, et ´ecrire f sur la base des hp,q. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.