Exercices de Math´ematiques S´eries enti`eres. Rayons de convergence et sommes (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Rayon de convergence, et somme, de la s´erie enti`ere � anzn, avec ∀n ∈ N, an = (2 + (−1)n)n. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Rayon de convergence R et somme S de la s´erie enti`ere � n≥0 xn 2n + 1. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Rayon de convergence, et somme sur l’intervalle ouvert de convergence, de � n≥1 cos nθ n xn. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Rayon de convergence R et somme S de la s´erie enti`ere � n≥1 anxn o`u an = 1 n cos �π 4 + nπ 2 � . NB : on donnera deux m´ethodes diff´erentes. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere une s´erie enti`ere � anxn, de rayon de convergence 1, de somme S(x). On suppose que la s´erie � an est convergente, et on veut montrer que la s´erie � anxn est uniform´ement convergente sur le segment [0, 1]. 1. Traiter le cas particulier o`u les an sont tous positifs ou nuls. 2. Traiter le cas o`u an = (−1)nλn, la suite (λn) ´etant d´ecroissante et convergente vers 0. 3. Traiter le cas g´en´eral. On pourra poser rn = +∞ � k=n+1 ak pour tout entier n. 4. Que peut on en d´eduire pour S(x) = +∞ � n=0 anxn sur [0, 1], et notamment pour +∞ � n=1 an ? Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] On pose a0 > 0, et ∀n ∈ N, an+1 = ln(1 + an). 1. D´eterminer le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere � anxn. 2. Montrer que la s´erie enti`ere converge en x = −1. 3. Montrer que lim n→∞ � 1 an+1 − 1 an � . En d´eduire que lim n→∞ nan = 2. Conclusion ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.