Probl`emes de Math´ematiques Convergence d’une s´erie au sens d’Abel ´Enonc´e Convergence d’une s´erie au sens d’Abel D´efinitions et notations. – On note E l’espace vectoriel des suites (un)n≥0 de nombres r´eels. – On note C le sous-ensemble de E form´e des suites (un)n≥0 tels que la s´erie � un converge. – On note S l’ensemble des suites (un)n≥0 de r´eels telles que la s´erie enti`ere � unxn ait un rayon de convergence sup´erieur ou ´egal `a 1 (´eventuellement infini). – Pour un ´el´ement u = (un)n≥0 de S, soit fu : [0, 1[→ IR d´efinie par fu(x) = +∞ � n=0 unxn. – On dit qu’une s´erie r´eelle � un converge au sens d’Abel si : ⋄ La suite (un)n≥0 est un ´el´ement de S. ⋄ La fonction fu admet une limite finie quand x tend vers 1 `a gauche. Cette limite est appel´ee somme d’Abel de la s´erie � un et on pourra la noter +∞ A n=0 un. – On note A l’ensemble des u = (un)n≥0 de S tels que � an converge au sens d’Abel. Pour tout ´el´ement u de A, on prolongera l’application fu en 1 en posant fu(1) = +∞ A n=0 un. ´Enonc´e. 1. (a) Montrer que S est un espace vectoriel sur IR. [ S ] (b) Montrer que C est un sous-espace vectoriel de S. [ S ] (c) Montrer que si � un converge au sens d’Abel, alors fu est continue sur [0, 1]. [ S ] (d) Montrer que A est un sous-espace vectoriel de S. [ S ] 2. Etudier, dans les trois cas suivants, la convergence au sens usuel et la convergence au sens d’Abel, en pr´ecisant, quand elles existent, la valeur de la somme usuelle et de la somme d’Abel de la s´erie : (a) un = (−1)n (2n)! ; vn = (−1)n(n + 1) ; w0 = 0 et wn = 1 + (−1)n+1 2n pour n ≥ 1. [ S ] (b) Les deux types de convergence co¨ındicent-ils ? [ S ] 3. Dans cette question, on veut montrer que si u ∈ C alors u ∈ A et +∞ � n=0 un = +∞ A n=0 un. Soit u = (un)n≥0 un ´el´ement de C, ce qui signifie que la s´erie � un converge. On note S sa somme et R le rayon de convergence de � unxn. Donc R ≥ 1. (a) Si R > 1, montrer que � un converge au sens d’Abel et que +∞ � n=0 un = +∞ A n=0 un. [ S ] (b) On suppose R = 1. On se donne un r´eel strictement positif ε. Pour tout n de IN on pose Rn = +∞ � k=n+1 uk et Sn(x) = n � k=0 ukxk pour 0 ≤ x ≤ 1. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.