Exercices de Math´ematiques S´eries de Fourier (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : R → R, paire, 2π-p´eriodique, d´efinie sur [0, π] par f(x) = x2(π − x)2. 1. Montrer que f est de classe C2 sur R, et qu’elle est de classe C3 par morceaux. 2. D´evelopper f en s´erie de Fourier. En d´eduire +∞ � n=1 1 n4, +∞ � n=1 (−1)n+1 n4 et +∞ � n=1 1 n8. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit t un r´eel non entier. Soit f, 2π-p´eriodique, d´efinie par : ∀x ∈ [−π, π], f(x) = cos(tx). 1. Former le d´eveloppement en s´erie de Fourier de f. 2. Montrer que : ∀t ∈ R − Z, π tan πt = 1 t + +∞ � n=1 2t t2 − n2. 3. Par d´erivation terme `a terme, en d´eduire : ∀t ∈ R − Z, +∞ � n=−∞ 1 (t − n)2 = π2 sin2(πt). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit t un nombre r´eel. On suppose que t n’est pas un entier relatif. On d´efinit une application f, 2π-p´eriodique sur R, par : ∀x ∈]0, 2π[, f(x) = eitx. 1. Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de f. 2. En utilisant l’identit´e de Parseval, montrer que ∀t ∈ R − Z, +∞ � p=−∞ 1 (t − p)2 = π2 sin2(πt). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit f ∈ E2π. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral 1 n cn(f) est absolument convergente. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit λ un r´eel non nul de ] − 1, 1[. Pour tout r´eel x, on pose f(x) = 1 1 − 2λ cos x + λ2. 1. Montrer que la s´erie de Fourier de f converge normalement vers f sur R. Ecrire l’´egalit´e qui en r´esulte, sans chercher `a calculer les an(f) (qu’on notera simplement an). 2. (a) Montrer que pour tout n de N∗, on a : λan+1 − (1 + λ2)an + λan−1 = 0. (b) En d´eduire l’existence de deux r´eels α et β tels que : ∀n ∈ N, an = αλn + β λn. (c) Montrer β = 0. Calculer a0 et en d´eduire l’expression de an. 3. En d´eduire : ∀x ∈ R, ∀λ ∈] − 1, 1[, 1 − λ2 1 − 2λ cos x + λ2 = 1 + 2 +∞ � n=1 λn cos nx 4. Retrouver ce r´esultat en utilisant un d´eveloppement en s´erie enti`ere. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.