Exercices de Math´ematiques S´eries de Fourier (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit une application f 2π-p´eriodique et impaire par : � 0 < t < π ⇒ f(t) = 1 f(0) = f(π) = 0 1. Former le d´eveloppement en s´erie de Fourier de f. 2. En d´eduire la valeur de +∞ � n=0 (−1)n 2n + 1. 3. A l’aide de l’´egalit´e de Parseval, calculer +∞ � n=0 1 (2n + 1)2 puis +∞ � n=1 1 n2. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit une application f, 2π-p´eriodique sur R, par � ∀t ∈] − π, π[, f(t) = t f(−π) = f(π) = 0 1. Former le d´eveloppement en s´erie de Fourier de f. 2. A l’aide de l’´egalit´e de Parseval, calculer la somme de la s´erie +∞ � n=1 1 n2. 3. On d´efinit g, 2π-p´eriodique, par par g(x) = π − t 2 sur ]0, 2π[ et g(0) = g(2π) = 0. D´eduire de la question (1) le d´eveloppement en s´erie de Fourier de g. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit une application f, 2π-p´eriodique sur R, par ∀x ∈ [−π, π], f(x) = ;;;x;;;. 1. Former le d´eveloppement en s´erie de Fourier de f. 2. En d´eduire les sommes +∞ � n=0 1 (2n + 1)2 et +∞ � n=1 1 n2. 3. Avec l’identit´e de Parseval, calculer les sommes +∞ � n=0 1 (2n + 1)4 et +∞ � n=1 1 n4. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] D´evelopper f(x) = ;;;sin x;;; en s´erie de Fourier. En d´eduire +∞ � n=1 1 1 − 4n2 et de +∞ � n=1 (−1)n 1 − 4n2. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : R → R, impaire, 2π-p´eriodique, d´efinie sur [0, π] par f(x) = x(π − x). 1. Montrer que f est de classe C1 sur R, et qu’elle est de classe C2 par morceaux. 2. Former le d´eveloppement en s´erie de Fourier de f. En d´eduire +∞ � n=0 (−1)n (2n + 1)3. 3. Calculer les sommes +∞ � n=0 1 (2n + 1)6 et +∞ � n=1 1 n6. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.