Cours de Math´ematiques S´eries de Fourier Sommaire S´eries de Fourier Sommaire I Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 L’espace vectoriel E[2pi] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 L’espace pr´ehilbertien C[2pi] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Polynˆomes trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Coefficients de Fourier exponentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.5 Coefficients de Fourier trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Propri´et´es des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.1 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.2 In´egalit´e de Bessel et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.3 Coefficients de Fourier des applications d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . 7 II.4 Egalit´e de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III D´eveloppements en s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.2 Les deux th´eor`emes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.3 G´en´eralisation aux applications T-p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . 10 Dans ce chapitre, IK d´esigne IR ou lC. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.