Probl`emes de Math´ematiques Th´eor`eme de Dirichlet ´Enonc´e Th´eor`eme de Dirichlet Soit f une application de IR dans lC, de p´eriode 2π et de classe C1 par morceaux. On note ak et bk les coefficients de Fourier trigonom´etriques de f. Pour tout n de IN, on note Sn le polynˆome de Fourier de f d’indice n. On rappelle que Sn est d´efini par : ∀x ∈ IR, Sn(x) = a0 2 + n � k=1 ak cos kx + n � k=1 bk sin kx. On pose : ∀x ∈ IR, ˜f(x) = 1 2(f(x−)+f(x+)), avec f(x−) = lim t→x, tx f(t). L’application ˜f (la “r´egularis´ee” de f) co¨ıncide donc avec f en tout point o`u f est continue. Dans cette question, x est un r´eel donn´e. 1. Soit g une application continue par morceaux de [a, b] dans lC (avec a < b). Pour tout r´eel strictement positif t, on pose It(g) = � b a g(u) sin tu du. Montrer que lim t→+∞ It(g) = 0. Indication : on commencera par supposer que g est en escaliers sur [a, b]. [ S ] 2. On pose, pour tout u de ]0, π], g(u) = 1 2 sin u 2 (f(x + u) + f(x − u) − 2 ˜f(x)). Montrer que g se prolonge en une application continue par morceaux sur [0, π]. [ S ] 3. Montrer que pour tout u de IR − 2πZZ, on a l’´egalit´e : 1 2 + n � k=1 cos ku = sin(n + 1 2)u 2 sin u 2 . [ S ] 4. En d´eduire la valeur de l’int´egrale Jn = � π 0 sin(n + 1 2)u sin u 2 du. [ S ] 5. Montrer que Sn(x) = 1 π � π −π sin(n + 1 2)(x − u) 2 sin x−u 2 f(u) du [ S ] 6. Montrer que Sn(x) = 1 π � π −π sin(n + 1 2)u 2 sin u 2 f(u + x)du. [ S ] 7. Montrer que Sn(x) = 1 π � π 0 sin(n + 1 2)u 2 sin u 2 (f(u + x) + f(x − u))du. [ S ] 8. En d´eduire que Sn(x) − ˜f(x) = � π 0 g(u) sin(n + 1 2)u du [ S ] 9. En d´eduire que lim n→+∞ Sn(x) = ˜f(x). Conclusion ? [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.