Exercices de Math´ematiques Suites de fonctions (III) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] On se donne une suite (Pn) de fonctions polynˆomiales `a coefficients r´eels. On suppose que la suite (Pn) est uniform´ement convergente sur un intervalle I non born´e de R. Montrer que la fonction limite P est un polynˆome, et que les diff´erences Pn − P sont des polynˆomes constants `a partir d’un certain entier n. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Etudier la convergence (simple, uniforme) de la suite de fonctions (fn) d´efinie par : ∀n ∈ N∗ ∀x ∈ R, fn(x) = x2 exp(− sin x n). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient (fn)n≥0 et (gn)n≥0 deux suites uniform´ement convergentes d’applications continues sur le segment I = [a, b], `a valeurs dans K. Montrer que la suite (fngn) est CVU sur [a, b]. Donner un contre-exemple montrant que la propri´et´e est fausse si I n’est pas un segment. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Etudier la convergence de la suite (fn) d´efinie par : ∀n ≥ 1, ∀x ≥ 0, fn(x) = � 1 + x n �n . Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.