Exercices de Math´ematiques S´eries de fonctions ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Etudier la convergence et calculer la somme de la s´erie de fonctions � fn d´efinie par : ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R+, fn (x) = n x2e−nx. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere la s´erie de fonctions � fn, avec : ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ [0, π], fn(x) = sin x cosn x. 1. Montrer que la s´erie � fn est simplement convergente sur [0, π]. 2. Justifier rapidement pourquoi la convergence n’est pas uniforme sur [0, π]. 3. Prouver qu’il y a convergence normale sur [a, π − a], avec 0 < a < π 2. 4. Calculer le reste d’indice N de � fn et montrer que celle-ci n’est pas CVU sur ]0, π]. 5. Montrer qu’il y a convergence uniforme (mais pas normale) sur [a, π], avec 0 < a < π. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere la s´erie � fn, o`u : ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R+, fn (x) = e−nx (n + x)2. 1. Etudier la convergence de cette s´erie sur R+. 2. Montrer que la somme S de cette s´erie est continue sur R+. 3. Prouver que l’application S est d´ecroissante et positive sur R+. 4. Pr´eciser la valeur de l’application S `a l’origine, et montrer que lim x→+∞ S(x) = 0. 5. Etablir que la fonction S est de classe C1 sur R+∗. 6. Prouver que l’application S est convexe sur R+. 7. Montrer que S n’est pas d´erivable en 0 en prouvant que lim x→0 S′(x) = −∞. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On ´etudie la s´erie de fonctions � fn d´efinie par : ∀n ≥ 2, ∀x ≥ 0, fn(x) = xe−nx ln n 1. Montrer qu’il y a convergence simple sur R+. 2. Montrer qu’il y a convergence normale sur [a, +∞[ (avec a > 0) mais pas sur R+. 3. Montrer qu’il y a convergence uniforme sur R+. Cons´equence pour la somme S ? 4. Montrer que la somme S est de classe C1 sur R+∗. 5. Prouver que S n’est pas d´erivable en 0 `a droite. 6. Montrer que pour tout entier naturel k, on a : lim x→∞ xkS(x) = 0. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.