Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes de Bernstein et th´eor`eme de Weierstrass ´Enonc´e Polynˆomes de Bernstein et th´eor`eme de Weierstrass 1. Pour tout n de IN, et tout k de {0, . . . , n}, on pose Rn,k(x) = C k nxk(1 − x)n−k. (a) Prouver les trois ´egalit´es suivantes : n� k=0 Rn,k(x) = 1, n� k=0 kRn,k(x) = nx, n� k=0 k(k − 1)Rn,k(x) = n(n − 1)x2. [ S ] (b) En d´eduire l’´egalit´e : n� k=0 (k − nx)2Rn,k(x) = nx(1 − x). [ S ] 2. Soit f une application continue sur un segment [a, b] de IR, `a valeurs dans IK. Montrer que pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que : ∀(x, y) ∈ [a, b]2, ;;;y − x;;; ≤ α ⇒ ;;;f(x) − f(y);;; ≤ ε. Indication : raisonner par l’absurde et introduire un r´eel ε > 0 et deux suites (xn) et (yn) de [a, b] telles que ;;;yn − xn;;; ≤ 1 n et ;;;f(yn) − f(xn);;; ≥ ε. [ S ] 3. Soit f une application d´efinie et continue sur [0, 1], `a valeurs dans IK. Pour tout entier n ≥ 1, on pose Bn(f)(x) = n� k=0 f �k n � Rn,k(x). On dit que les Bn(f) sont les polynˆomes de Bernstein de f. On va montrer que la suite (Bn(f))n≥1 converge uniform´ement vers f sur [0, 1]. On se donne ε > 0. On sait d’apr`es la question pr´ec´edente qu’il existe α > 0 tel que : ∀(x, y) ∈ [0, 1]2, ;;;y − x;;; ≤ α ⇒ ;;;f(x) − f(y);;; ≤ ε. (a) Montrer que f(x) − Bn(f)(x) = n� k=0 � f(x) − f �k n �� Rn,k(x). [ S ] (b) Soit x un ´el´ement de [0, 1]. On note A = � k ∈ {0, . . . , n}, ���x − k n ��� ≤ α � . Soit B le compl´ementaire de A dans {0, . . . , n}. i. Montrer que � k∈A ���f(x) − f �k n ����Rn,k(x) ≤ ε. [ S ] ii. Prouver α2 � k∈B Rn,k(x)≤ � k∈B � x − k n �2 Rn,k(x)≤ 1 n2 n� k=0 (nx − k)2Rn,k(x) ≤ 1 4n [ S ] iii. Prouver que � k∈B ���f(x) − f �k n ����Rn,k(x) ≤ ∥f∥∞ 2nα2 . [ S ] iv. Montrer finalement que ∥f − Bn(f)∥∞ ≤ ε + ∥f∥∞ 2nα2 . [ S ] (c) En d´eduire que la suite (Bn(f))n≥1 converge uniform´ement vers f sur [0, 1]. [ S ] 4. Montrer plus g´en´eralement le th´eor`eme de Weierstrass : Toute application g continue sur un segment [a, b] de IR et `a valeurs dans IK est limite uniforme sur [a, b] d’une suite de fonctions polynˆomiales. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.