Probl`emes de Math´ematiques Fonction Z´eta de Riemann ´Enonc´e Fonction Z´eta de Riemann Pour x r´eel, on pose ζ(x) = ∞ � n=1 1 nx. On d´efinit ainsi la fonction Zeta de Riemann. Partie I Dans cette partie, on ´etudie sommairement les variations de la fonction ζ. 1. Quel est le domaine de d´efinition de la fonction ζ ? [ S ] 2. Montrer que la fonction ζ est strictement d´ecroissante. [ S ] 3. En d´eduire que lim x→1+ ζ(x) = +∞. [ S ] 4. (a) Montrer que pour tout x ≥ 2 et tout N ≥ 1 on a : 1 ≤ ζ(x) ≤ N � n=1 1 nx + ∞ � n=N+1 1 n2. [ S ] (b) En d´eduire que lim x→+∞ ζ(x) = 1. [ S ] 5. Montrer que la fonction ζ est convexe. [ S ] 6. Montrer que ζ est de classe C∞ et que : ∀p ∈ IN∗, ∀x > 1, ζ(p)(x) = +∞ � n=2 (− ln n)p nx . Retrouver ainsi le r´esultat des questions 2 et 5. [ S ] 7. Repr´esenter sommairement la courbe repr´esentative de la fonction ζ. [ S ] Partie II Dans cette partie, on ´etudie plus pr´ecis´ement le comportement de la fonction ζ en 1 et en +∞, et on ´etablit sa d´erivabilit´e `a tout ordre. 1. Pour n ≥ 2 et x > 0, montrer les in´egalit´es � n+1 n t−x dt ≤ n−x ≤ � n n−1 t−x dt. [ S ] 2. En d´eduire que pour x > 1 et N ≥ 2 on a : N 1−x x − 1 ≤ ∞ � n=N 1 nx ≤ (N − 1)1−x x − 1 . [ S ] 3. Montrer que lorsque x tend vers +∞, alors ζ(x) − 1 ∼ 2−x. [ S ] 4. D´eduire de la question II-2 que ζ(x) ∼ 1 x − 1 quand x tend vers 1. [ S ] Partie III Dans cette partie, on am´eliore le r´esultat de la question II-4 On d´efinit une s´erie de fonctions � fn par : fn(x) = n−x − � n+1 n t−x dt. 1. Montrer que la suite de terne g´en´eral un = n � k=1 1 k − ln(n + 1) est convergente. Sa limite est not´ee γ et on l’appelle la constante d’Euler (γ ≈ 0.5772156649). [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.