Exercices de Math´ematiques S´eries `a termes r´eels ou complexes ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] A l’aide d’une s´erie altern´ee, montrer que e est un irrationnel. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Nature de la s´erie � n≥1 un, o`u un = (−1)n (n!)1/n. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit � un une s´erie r´eelle, convergente mais non absolument convergente. Pour tout n, on pose u+ n = sup(un, 0) et u− n = sup(−un, 0). Montrer que les s´eries � u+ n et � u− n sont divergentes. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Nature de la s´erie � n≥2 un, avec un = ln �√n + (−1)n √n + α � . Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit z un nombre complexe de module 1, mais tel que z ̸= 1. 1. Pour tout entier n, on pose Tn = n � k=0 zk. Montrer que ;;;Tn;;; ≤ 2 ;;;1 − z;;;. 2. En d´eduire que pour N ≥ 1 et p ≥ 1, on a : ��� N+p � n=N+1 zn n ��� ≤ 4 (N + 1) ;;;1 − z;;;. 3. Montrer que la s´erie � zn n est convergente. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Pour tout complexe z v´erifiant ;;;z;;; < 1, calculer S = ∞ � n=1 un, avec un = nzn. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.