Probl`emes de Math´ematiques Acc´el´eration de convergence pour une s´erie ´Enonc´e Acc´el´eration de convergence pour une s´erie On se propose de trouver une valeur approch´ee de la somme S = ∞ � n=1 un, avec un = (−1)n+1 √n . Pour tout entier N ≥ 1, on pose SN = N � n=1 un et RN = ∞ � n=N+1 un. 1. (a) Justifier l’existence de la somme S, le signe de RN et un majorant de ;;;RN;;;. [ S ] (b) Donner un majorant de l’erreur commise dans l’approximation S ≈ SN + 1 2uN+1. Avec ce r´esultat, combien faudrait-il de termes pour calculer S `a 10−4 pr`es ? [ S ] 2. Pour n ≥ 1, on note u′ n = 1 √2n − 1 − 1 √ 2n. (a) Prouver que pour tout n ≥ 1, on a : 1 √n − 1 − 1 √n ∼ 1 2n√n [ S ] (b) En d´eduire la convergence de la s´erie � u′ n. [ S ] (c) Montrer que S2N = S′ N et R2N = R′ N, avec S′ N = N � n=1 u′ n et R′ N = ∞ � n=N+1 u′ n. [ S ] 3. (a) Montrer que u′ n ∼ vn − vn−1, avec vn = − 1 2 √ 2n. [ S ] (b) Pour tout n ≥ 2, on pose wn = u′ n − (vn − vn−1). Justifier la convergence de � wn et montrer que R′ N = 1 2 √ 2N + ∞ � n=N+1 wn. [ S ] 4. (a) Montrer qu’on peut ´ecrire wn = f(n), o`u f(t) est croissante n´egative. [ S ] (b) En d´eduire que F(n) − F(n − 1) ≤ wn ≤ F(n + 1) − F(n), l’application F ´etant d´efinie par F(t) = √2t − 1 − 1 2 √ 2t − 1 2 √2t − 2. [ S ] (c) Former le d´eveloppement limit´e de √1 + x au voisinage de 0 `a l’ordre 3. [ S ] (d) Donner un ´equivalent de F(t) quand t → ∞. [ S ] 5. (a) Montrer que −F(N) ≤ ∞ � n=N+1 wn ≤ −F(N + 1). [ S ] (b) Montrer que t → ∆(t) = F(t) − F(t + 1) est une fonction d´ecroissante de t. Donner un ´equivalent de ∆(t) quand n → ∞. [ S ] 6. Les questions pr´ec´edentes montrent donc que, pour tout N ≥ 1. S = S2N + R2N = S2N + R′ N = S2N + 1 2 √ 2N + ∞ � n=N+1 wn. On a donc l’encadrement : S2N + 1 2 √ 2N − F(N) ≤ S ≤ S2N + 1 2 √ 2N − F(N + 1). On sait enfin que l’amplitude de cet encadrement est une fonction d´ecroissante de l’entier N et tend vers 0 avec la vitesse de N −5/2. Montrer qu’il suffit de choisir N = 14 pour connaˆıtre S `a 10−4 pr`es. Quel est l’encadrement obtenu ? [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.