Probl`emes de Math´ematiques Convergence et valeur d’un produit infini ´Enonc´e Convergence et valeur d’un produit infini Soit (un)n≥q une suite de nombres r´eels ou complexes. Pour tout m ≥ q, on pose Pm = m � n=q un = uquq+1 · · · um. On dit que les (Pm)m≥q sont les produits partiels du produit infini � n≥q un. Si (Pm)m≥q converge vers une limite non nulle, on dit que le produit infini � n≥q un converge. Cette limite est alors not´ee ∞ � n=q un. On l’appelle la valeur du produit infini. Si (Pm)m≥q est divergente ou de limite nulle, on dit que le produit infini � n≥q un est divergent. Par abus de langage, on pourra cependant noter ∞ � n=q un = 0 si lim m→∞ Pm = 0. Partie 1 Dans cette partie, on ´etablit une condition n´ecessaire de convergence et on calcule quelques produits infinis. 1. Montrer que si � n≥q un converge, alors les un sont tous non nuls et lim n→∞ un = 1. [ S ] 2. Montrer que le produit infini � n≥2 � 1 − 1 n � est divergent, et que ∞ � n=2 � 1 − 1 n � = 0. Remarque : cet exemple prouve que la r´eciproque du r´esultat vu en 1.1 est fausse. [ S ] 3. Montrer que le produit infini � n≥2 � 1 − 1 n2 � est convergent et de valeur 1 2. [ S ] 4. Montrer que le produit infini � n≥2 � 1 − 2 n(n + 1) � est convergent et de valeur 1 3. [ S ] 5. Montrer que le produit infini ∞ � n=1 � 1 + (−1)n+1 n � est convergent et de valeur 1. [ S ] Partie 2 Dans cette partie, on ´etudie les produits infinis de r´eels strictement positifs. On note (un)n≥q une suite de IR+∗. 1. Prouver que le produit infini � n≥q un converge ⇔ la s´erie � n≥q ln un converge. Pr´eciser alors la relation entre les valeurs ∞ � n=q un et ∞ � n=q ln un. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.