Probl`emes de Math´ematiques Op´erations sur des suites de carr´e sommable ´Enonc´e Op´erations sur des suites de carr´e sommable On note S l’ensemble des applications de IN∗ dans IR. Un ´el´ement u de S sera not´e u = (un)n≥1. On note S1 le sous ensemble de S form´e des suites u telles que la s´erie � un soit convergente. On note S2 le sous ensemble de S form´e des suites u telles que la s´erie � u2 n soit convergente. Pour tout ´el´ement u = (un)n≥1 de S, on note : – ∆(u) la suite de terme g´en´eral vn = un+1 − un pour n ≥ 1. – ∇(u) la suite d´efinie par w1 = v1 et wn = vn − vn−1 si n ≥ 2. On constate que pour tout n ≥ 2, wn = (un+1 − un) − (un − un−1) = un+1 − 2un + un−1. Pour tout ´el´ement u de S2, on note σ(u) = ∞ � n=1 u2 n. 1. Montrer que S1 n’est pas inclus dans S2, et que S2 n’est pas inclus dans S1. [ S ] 2. Montrer que S1 est un espace vectoriel sur IR. [ S ] 3. (a) Montrer que si les suites u, v sont dans S2, alors la suite p de terme g´en´eral pn = un vn est dans S1. [ S ] (b) En d´eduire que S2 est muni d’une structure d’espace vectoriel. [ S ] (c) Montrer qu’on d´efinit un produit scalaire sur S2 en posant < u, v > = ∞ � n=1 unvn. [ S ] 4. Montrer que les restrictions de ∆ et de ∇ `a S2 sont des endomorphismes de S2. Pour toute suite u de S2, on notera J0(u) = σ(u), J1(u) = σ(∆(u)) et J2(u) = σ(∇(u)). [ S ] 5. On consid`ere la suite u de terme g´en´eral un = 1 n. (a) Rappeler la valeur de J0(u). [ S ] (b) Montrer que ∞ � n=1 1 n(n + 1) = 1. En d´eduire J1(u) = π2 3 − 3. [ S ] (c) Montrer que ∞ � n=2 1 (n + 1)(n − 1) = 3 4. En d´eduire J2(u) = π2 − 19 2 . [ S ] (d) Contrˆoler qu’on a bien l’in´egalit´e J1(u)2 ≤ J0(u)J2(u). [ S ] 6. Dans cette question, on va d´eterminer les valeurs propres de la restriction de ∆ `a S2, et les vecteurs propres associ´es. (a) Soit u un ´el´ement de S2, vecteur propre de ∆ pour une valeur propre λ (autrement dit : u n’est pas la suite nulle et ∆(u) = λu.) Montrer que −2 < λ < 0 et que u est une suite g´eom´etrique de raison λ + 1. [ S ] (b) Etablir la r´eciproque. En d´eduire le spectre de la restriction de ∆ `a S2. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.