Exercices de Math´ematiques D´erivation et int´egration (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 Donner un ´equivalent, quand n tend vers l’infini, de In = � 1 0 f(t) ln(1 + nt) dt (o`u l’application f est continue et strictement positive). Exercice 2 D´eterminer les applications f continues de R dans R telles que : ∀x, y, f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y) Indication : ´Ecarter f = 0 ; montrer que f(0) = 1 et que f est C2 (par int´egration) Exercice 3 Soit f ∈ C2([a, b], R) et Rn(f) = � b a f(t) dt − b − a n n−1 � k=0 f � a + kb − a n � . Montrer ∃(α, β) ∈ R2 tels que Rn(f) = α n + β n2 + o � 1 n2 � . Exercice 4 Soit ϕ ∈ C([a, b], E) o`u E est un espace vectoriel norm´e. On suppose que ���� � b a ϕ(t) dt ���� = � b a ∥ϕ(t)∥ dt. On note U = � b a ϕ(t) dt. Que peut-on dire si U = 0? On supposera dor´enavant U ̸= 0. 1. Montrer que ∀x ∈ [a, b], ���� � b a ϕ(t) dt ���� = ���� � x a ϕ(t) dt ���� + ���� � b x ϕ(t)dt ���� = � b a ∥ϕ(t)∥ dt. 2. Monter qu’il existe f : [a, b] → R, continue, telle que : ∀x ∈ [a, b], ϕ(x) = f(x)U. 3. Montrer que ���� � b a f(t) dt ���� = � b a ;;;f(t);;; dt = 1. 4. En d´eduire que f est `a valeurs dans R+∗. Exercice 5 1. Etudier la d´erivabilit´e de f(x) = � 1 0 exp(−x2(t2 + 1)) 1 + t2 dt. 2. En d´eduire que � +∞ 0 exp(−x2) dx = √π 2 . Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.