Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes orthogonaux (cas “Legendre”) ´Enonc´e Polynˆomes orthogonaux (cas “Legendre”) Le probl`eme se compose de trois parties qui ne sont pas ind´ependantes. Tous les r´esultats utiles sont clairement indiqu´es dans l’´enonc´e. Soient a et b deux r´eels, avec a < b. On d´esigne par E = C([a, b], IR) l’espace vectoriel des applications qui sont d´efinies et continues sur le segment [a, b], et qui sont `a valeurs r´eelles. P d´esigne le sous-espace de E form´e des applications polynˆomiales, et Pn est le sous-espace de celles qui sont de degr´e inf´erieur ou ´egal `a l’entier naturel n. On se donne une application ω de E, telle que : ∀x ∈]a, b[, ω(x) > 0. Pour f et g dans E, on note < f, g > = � b a f(x)g(x)ω(x) dx. Il est clair qu’on d´efinit ainsi un produit scalaire sur E. Premi`ere Partie : familles de polynˆomes orthogonaux On dit qu’une suite (Pn)n≥0 de P est orthogonale `a degr´es ´echelonn´es (on note ODE) si : – ∀(m, n) ∈ IN2, m ̸= n ⇒< Pm, Pn > = 0. – ∀n ∈ IN, deg(Pn) = n. 1. Rappeler pour quelle raison il est possible de construire de telles suites dans P [ S ] 2. Dans le reste de cette partie, on note (Pn)n≥0 une suite ODE donn´ee de P. Montrer que pour tout n de IN∗ pour tout Q de Pn−1, on a : < P, Q >= 0. [ S ] 3. Montrer qu’une suite (Qn)n≥0 de P est ODE si et seulement si pour tout entier naturel n, il existe un scalaire λn tel que Qn = λnPn. [ S ] 4. En d´eduire qu’il existe une unique suite ODE form´ee de polynˆomes unitaires (c’est-`a-dire ayant 1 comme coefficient du terme de plus haut degr´e.) [ S ] 5. Soit n un ´el´ement de IN∗. On veut montrer que les racines de Pn sont toutes r´eelles, distinctes deux `a deux, et qu’elles appartiennent `a l’intervalle ]a, b[. Pour cela, on note S = {x1, . . . , xm} l’ensemble ´eventuellement vide des racines de Pn qui appartiennent `a ]a, b[ et qui sont de multiplicit´e impaire. Dans cette notation, x1, . . . , xm sont distinctes deux `a deux. On note enfin Qm = (x − x1)(x − x2) · · · (x − xm), et on pose Q = 1 si S est vide. (a) Montrer que m est inf´erieur ou ´egal `a n. [ S ] (b) En raisonnant par l’absurde, montrer que m est ´egal `a n. [ S ] (c) Conclure [ S ] 6. Soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. (a) Montrer que les polynˆomes P0, P1, . . . , Pn−2, Pn−1, XPn−1 forment une base de Pn. On note ainsi α0, . . . , αn−1, αn les r´eels tels que : Pn = n−1 � k=0 αkPk + αnXPn−1. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.