Probl`emes de Math´ematiques Cercles orthogonaux. Faisceaux de cercles. ´Enonc´e Cercles orthogonaux. Faisceaux de cercles. On se place dans R2, muni de sa structure usuelle de plan eulidien. Pour tout point A et tout r´eel r > 0, on notera C(Ω, r) le cercle de centre A et de rayon r (on ne consid´erera dans ce probl`eme que des cercles ayant un rayon strictement positif.) Pour tous points A et B, on notera AB la longueur du segment [A, B]. Premi`ere partie : cercles orthogonaux On dit que deux cercles C(Ω1, r1) et C(Ω2, r2) sont orthogonaux si Ω1Ω2 = � r2 1 + r2 2. 1. On se donne deux cercles quelconques C1 = C(Ω1, r1) et C2 = C(Ω2, r2). Montrer que ces deux cercles sont s´ecants (c’est-`a-dire se coupent en deux points disjoints) si et seulement si on a la double in´egalit´e : ;;;r2 − r1;;; < Ω1Ω2 < r1 + r2. En d´eduire que deux cercles orthogonaux sont s´ecants. [ S ] 2. Soit A l’un des deux points d’intersection de deux cercles s´ecants C1 et C2. Soit D1 (resp. D2) la tangente en A au cercle C1 (resp. C2). Montrer que C1 et C2 sont orthogonaux si et seulement si D1 et D2 sont orthogonales. [ S ] 3. On se donne un cercle C1 = C(Ω1, r1), et un point Ω2. Montrer que Ω2 est le centre d’un cercle C2 orthogonal `a C1 ⇔ Ω2 est ext´erieur `a C1. Montrer que C2 est unique. En donner une construction `a la r`egle et au compas. [ S ] 4. Pour tout vecteur v = (a, b, c) de R3, on note Φv : R2 → R l’application d´efinie par : ∀ M(x, y) ∈ R2, Φv(M) = x2 + y2 − 2ax − 2by + c On note Γ(v) l’ensemble des points M(x, y) de R2 tels que Φv(M) = 0. Pour tous � v1 = (a1, b1, c1) v2 = (a2, b2, c2), on pose enfin ϕ(v1, v2) = 2(a1a2 + b1b2) − c1 − c2. (a) Discuter, en fonction du vecteur v, la nature de l’ensemble Γ(v). V´erifier notamment que Γ(v) est un cercle si et seulement si ϕ(v, v) > 0. [ S ] (b) Soient v1, v2 dans R3, tels que C1 = Γ(v1) et C2 = Γ(v2) soient des cercles du plan. Montrer que C1 et C2 sont orthogonaux si et seulement si ϕ(v1, v2) = 0. [ S ] 5. (a) D´eterminer les cercles orthogonaux simultan´ement `a � C1 d’´equation (x + 1)2 + y2 = 1 C2 d’´equation (x − 2)2 + y2 = 4 On illustrera le r´esultat par une figure. [ S ] (b) Mˆeme question en consid´erant maintenant les cercles � C1 d’´equation (x − 2)2 + y2 = 7 C2 d’´equation (x + 1)2 + y2 = 4 [ S ] (c) Mˆeme question avec � C1 d’´equation (x − 2)2 + y2 = 1 C2 d’´equation (x + 3)2 + y2 = 6 V´erifier en outre que les cercles obtenus passent par deux points fixes. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.