Exercices de Math´ematiques G´eom´etrie affine (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 Dans le plan, on se donne un parall´elogramme ABCD. Soient I le milieu de AB et J celui de AD. Montrer que les droites (IC) et (JC) divisent la diagonale (BD) en trois parties ´egales. Exercice 2 Soient A, B, C trois points non align´es d’un plan E. On se donne trois points α, β, γ respectivement sur les droites (BC), (AC) et (AB). Montrer que α, β, γ sont align´es ⇔ αB αC · βC βA · γA γB = 1. Ce r´esultat est connu sous le nom de Th´eor`eme de Menela¨us.. Exercice 3 Soient A, B, C trois points non align´es d’un plan E. On consid`ere trois droites DA, DB, DC passant respectivement par A, B, C. On suppose que DA, DB, DC coupent respectivement les droites (BC), (CA), (AB) en α, β, γ. Montrer que DA, DB, DC sont parall`eles ou concourantes ⇔ αB αC · βC βA · γA γB = −1. Ce r´esultat est connu sous le nom de Th´eor`eme de Ceva. Exercice 4 Soient A, B, C trois points non align´es d’un plan E. Soit M un point quelconque du plan E. On pose λA = det(−−→ MB, −−→ MC), λB = det(−−→ MC, −−→ MA) et λC = det(−−→ MA, −−→ MB). 1. Montrer que λA + λB + λC ̸= 0. 2. Montrer que M est le barycentre de (A, λA), (B, λB), (C, λC). 3. Qu’obtient-on pour le centre du cercle circonscrit `a ABC ? Exercice 5 Dans le plan, on se donne deux points distincts A, B. On se donne deux droites distinctes D et D′ passant par A. On se donne enfin deux droites distinctes ∆ et ∆′ passant par B. On note CDEF le quadrilat`ere “non crois´e” d´efini par les intersections de D, D′ avec ∆, ∆′. Montrer que les milieux I, J, K des trois diagonales sont align´es. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.