MATHÉMATIQUES Topologie et analyse fonctionnelle Cours de licence avec 240 exercices et 30 problèmes corrigés Yves SONNTAG TOPOLOGIE et ANALYSE FONCTIONNELLE Cours de licence avec 240 exercices et 30 problèmes corrigés Yves SONNTAG Maître de Conférences à l'Université de Provence AVANT-PROPOS L'ensemble «cours + exercices corrigés » qui forme la trame de ce livre représente grosso modo un cours d'analyse générale qui est envoyé aux étudiants inscrits à la Licence de Mathématiques Télé-Enseignement (T.E.) de l'Université de Provence. Analyse générale signifie : topologie et analyse fonctionnelle élémentaires. De manière plus précise, le programme qui est traité est le suivant : • espaces métriques et introduction à la topologie générale, • espaces vectoriels normes et espaces de Banach (sans les «grands théorèmes »), • espaces de Hilbert (théorie élémentaire, sans théorie spectrale). La finalité de cette analyse générale est d'une part de fournir un cadre adéquat aux notions d'analyse introduites en D.E.U.G. et, d'autre part, d'introduire toutes les notions de base nécessaires aux autres modules d'analyse de la Licence : espaces de Banach et espaces de Hilbert pour la théorie de la mesure et les probabilités, connexité pour l'analyse complexe, et... tout pour le calcul différentiel. Inutile d'insister sur le caractère fondamental de cet enseignement. Par rapport au «cours + exercices» effectivement envoyé aux étudiants du T.E, le livre est infiniment plus riche : j'ai ajouté une centaine d'exercices, les lectures, les problèmes, les lectures-problèmes. Ce matériel provient pour l'essentiel de sujets de devoirs, de partiels, et d'examens donnés dans cet enseignement au fil des années. J'ai ajouté aussi le chapitre XV, et le chapitre XXI qui est un avatar de divers problèmes donnés en devoir. Bref tout le contenu de ce livre a été testé sous une forme ou sous une autre auprès d'étudiants travaillant seuls. Y ai aussi ajouté un