Universit´e Paris 13 Ann´ee 2006-2007 Licence 2, Analyse et Alg`ebre feuille n◦ 8 Espaces vectoriels et matrices Exercice 1 Soit V = P4[x] l’espace vectoriel de tous les polynˆomes de degr´e ⩽ 4. Soit A = {p ∈ V ;;; p(1) = 0} et B = {p ∈ V ;;; x2 + 1 divise p(x)}. V´erifier que A et B sont bien des sous-espaces vectoriels. Donner des bases de A, B, A ∩ B et A + B. Exercice 2 Soit F et G les sous-espaces de R5 d´efinis par : F = � � � � � � � � x1 ... x5 � � � ;;; x1 − 3x2 + x4 = 0 x2 − x5 = 0 � � � � � , G = Vect � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 3 −1 1 � � � � � � , � � � � � � 2 −1 −4 4 −1 � � � � � � , � � � � � � 0 1 2 0 1 � � � � � � , � � � � � � 1 −2 −3 −1 −2 � � � � � � � � � � � � � � � � � Donner des bases pour F, G et F ∩ G. Exercice 3 Dans l’espace R4, on se donne cinq vecteurs : V1 = (1, 1, 1, 1), V2 = (1, 2, 3, 4), V3 = (3, 1, 4, 2), V4 = (10, 4, 13, 7), V5 = (1, 7, 8, 14). Chercher les relations de d´ependance lin´eaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont d´ependants, en extraire au moins une famille libre engendrant le mˆeme sous-espace. Exercice 4 On suppose que v1, v2, v3, . . . , vn sont des vecteurs ind´ependants de Rn. 1. Les vecteurs v1 − v2, v2 − v3, v3 − v4, . . . , vn − v1 sont-ils lin´eairement ind´ependants ? 2. Les vecteurs v1 + v2, v2 + v3, v3 + v4, . . . , vn + v1 sont-ils lin´eairement ind´ependants ? 3. Les vecteurs v1, v1+v2, v1+v2+v3, v1+v2+v3+v4, . . . , v1+v2+· · ·+vn sont-ils lin´eairement ind´ependants ? Exercice 5 Si L, M, N sont trois sous-espaces vectoriels de E, a-t-on : L ∩ (M + N) = L ∩ M + L ∩ N ? Exercice 6 Soit E = D(R, R) et F = {f ∈ E;;; f(0) = f ′(0) = 0}. Montrer que F est un sous- espace vectoriel de E et d´eterminer un suppl´ementaire de F dans E. Exercice 7 Soit E un espace vectoriel, et u une application lin´eaire de E dans E. Dire si les propri´et´es suivantes sont vraies ou fausses : 1. Si e1, e2, . . . , ep est libre, il en est de mˆeme de u(e1), u(e2), . . . , u(ep). 2. Si u(e1), u(e2), . . . , u(ep) est libre, il en est de mˆeme de e1, e2, . . . , ep. 3. Si e1, e2, . . . , ep est g´n´eratrice, il en est de mˆeme de u(e1), u(e2), . . . , u(ep). 4. Si u(e1), u(e2), . . . , u(ep) est g´en´eratrice, il en est de mˆeme de e1, e2, . . . , ep. 5. Si u(e1), u(e2), . . . , u(ep) est une base de Im(u), alors e1, e2, . . . , ep est une base d’un sous- espace vectoriel suppl´ementaire de Ker(u). 1