Chapitre 2 M´ethodes num´eriques de base Le but de ce chapitre est de fournir, de mani`ere succincte, les principes de base des m´ethodes num´eriques les plus utilis´ees. Mˆeme si d´esormais le premier contact avec les m´ethodes num´eriques ne se fait plus au travers d’une programmation de ces m´ethodes dans les langages de bas-niveau, mais plutˆot par l’utilisation d’outils tels que Matlab, Scilab, Maple, Mathematica... permettant la ma- nipulation de concepts math´ematiques ´evolu´es, il reste indispensable de connaˆıtre les fondements des principales m´ethodes pour les utiliser de fa¸con pertinente. 2.1 R´esolution des ´equations de type f(x) = 0 Nous nous restreignons, par souci de simplicit´e, `a la recherche de racines r´eelles, z´eros de fonctions r´eelles continues. L’existence et une premi`ere localisation des solutions utilisent le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. Th´eor`eme 2.1.1 (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires) Si f est une fonc- tion continue sur [a, b], et si f(a)f(b) ≤ 0, alors il existe au moins un point c ∈ [a, b] tel que f(c) = 0. Si de plus f est strictement monotone sur [a, b], la racine est unique dans [a, b]. 2.1.1 M´ethode de dichotomie La m´ethode de dichotomie est un proc´ed´e syst´ematique de raffinement de la localisation d’une racine. Le mot dichotomie (dicho = deux, tomie = coupe) exprime clairement le principe de la m´ethode. Soit [a, b] un intervalle initial de localisation de la racine cherch´ee s. Supposons que l’on ait f(a)f(b) < 0, l’algorithme de la dichotomie s’´ecrit : 39