Topologie de la convergence simple et de la convergence uniforme 1 Introduction Beaucoups d’objets mathématiques s’obtiennent, en Analyse, par passage à la li- mite. Ainsi on peut définir, par exemple, la fonction exponentielle (réelle) par : si x est élément de IR exp � x �� lim n � ∞ � 1 � x n � 1 n � Le problème qui se pose très vite est de savoir lesquelles des propriétés des termes de la suite sont conservées au niveau de la limite. Un autre problème est celui de préci- ser la convergence de la suite de fonction: convergence point par point, convergence “globale”? Nous verrons dans cette leçon que ces deux questions sont liées. 2 Topologie de la convergence simple Soit X un ensemble et (Y, � ) un espace topologique. Définition Soit � fn � n � IN une suite de fonctions de X dans Y et f une fonction de X dans Y. On dit que � fn � n � IN converge simplement vers f pour la topologie de Y quand n tend vers l’ infini si � x X  fn � x � tend vers f � x � quand n tend vers l’infini. Définition Ceci permet de définir une topologie sur  (X,Y): l’ensemble des fonc- tions de X dans Y. Cette topologie sur  (X,Y) est la topologie de la convergence simple: – On définit tout d’abord les fermés par la propriété suivante: “F F(X,Y) est un fermé  F est vide ou alors toute suite � fn � n � IN d’éléments de F qui converge simplement vers un élément f de  (X,Y) a sa limite f dans F”. Autremement dit, F est fermé si et seulement si F est vide ou alors si pour tout élément f de  (X,Y) qui est limite simple d’une suite d’éléments de F, f est élément de F. – On définit naturellement les éléments de notre topologie en affirmant que les ouverts de  (X,Y) sont les complémentaires des fermés de  (X,Y). Remarque les utilisés autour du mot fermé dans la définition précédente sont là pour préciser l’idée qu’il nous faut montrer que les ensembles ainsi définis vérifient bien les axiomes d’une topologie et sont donc bien des fermés. 1