I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Equation générale de degré n 1 Equation de degrée n Tous les corps considérés dans ce chapitre seront de caractéristique nulle. Soit b1 ����� bs des éléments d’une extension d’un corps K. Définition On dira que les éléments b1 ����� bs sont algébriquement indépendants sur K si, et seulement si, ces éléments ne satisfont aucune relation de la forme ∑αi1i2 � � � isbi1 1 ��� biss � 0 à coefficients non nuls. Autrement dit, b1 ����� bs sont algébriquement indépendants si, et seulement si, ils n’annulent aucun polynôme non nul P � X1 ����� Xs �� K X1 ����� Xs  à n indéterminées. Exemple Si a est transcendant sur K et b est transcendant sur K � a � , alors a � b sont algébriquement indépendants sur K, car si nous avons ∑ i  j αi  jaib j � 0 alors ∑ j ∑ i αijai  b j � 0 Mais b est transcendant sur K � a � , d’où ∑ i αijai � 0 pour tout j a est aussi transcendant sur K. Les relations précédentes impliquent αij � 0 pour tout i et tout j ce qui prouve l’indépendance algébrique de a et b sur K. Définition L’équation générale de degré n sur un corps K est une équation de la forme xn  an  1xn  a1x  a0 � 0 où les coefficients a0 � a1 ����� an  1 sont algébriquement indépendants sur K. Soit F � K � a0 � a1 ����� an  1 � et f � X � � Xn  an  1Xn  1  a1X  a0. Nous avons f � X �� F X  et F  K � Y1 ����� Yn � corps des fractions rationnelles en n idéterminées Y1 �����Yn et à coefficients dans K. Soit u1 � u2 ����� un les racines de f dans un corps des racines F � u0 � u1 ����� un  1 � pour f sur F. Théorème u1 � u2 ����� un sont algébriquement indépendants sur K.