Chapitre 4 Limites et continuit´e des fonctions num´eriques 1 G´en´eralit´es sur les fonctions num´eriques 1.1 Quelques d´efinitions 1.1.1 fonction num´erique Une fonction num´erique f : X → Y est une fonction dont l’ensemble de d´epart X et l’ensemble d’arriv´ee Y sont des parties de R (1). on dit aussi que f est une fonction `a une variable r´eelle — `a valeurs r´eelles (2) • Les fonctions polynomiales sur R, les fonctions de R∗ dans R∗ d´efinies par f(x) = 1/x, g(x) = 1/x2... et plus g´en´eralement les fonctions d’expression une fraction rationnelle polynomiale, F(x) = P(x)/Q(x) c’est `a dire le quotient de deux fonctions polynomiales sont des fonctions num´eriques. • Les fonctions trigonom´etriques : sin, cos, tan ... les fontions exp, ln .... sont des fonctions num´eriques. • La fonction E(x) (partie enti`ere de x) est encore un autre type de fonction num´erique. • Une autre fa¸con de se donner une fonction num´erique est de la d´efinir « par morceaux » , c’est `a dire de d´efinir f(x) de plusieurs fa¸cons, suivant les valeurs de x. Par exemple (tracer leur graphe) : δ0(x) = � 1 si x = 0 0 si x ̸= 0 , f(x) = � 2 − x si x < 2 x − 4 si x ≥ 2 , h(x) = � 2 − x si x < 1 (x − 2)2 si x ≥ 1 1Puisque N est une partie de R, on peut consid´erer les suites r´eelles comme des fonctions num´eriques. Elles ont ´et´e ´etudi´ees au chapitre 3. Ici, nous nous occuperons plutˆot des fonctions d´efinies sur une partie X de R constitu´ee d’une r´eunion d’intervalles, ouverts ou ferm´es, mais non r´eduits `a un point. 2de la mˆeme mani`ere, on parle de fonction `a variable enti`ere, `a variable complexe, ou `a plusieurs variables ... et `a valeurs enti`eres, complexes, vectorielles, etc. 55