Exercices - Développements limités : corrigé Calculs de DLs Exercice 1 - Somme et produit de DLs - L1/Math Sup - ⋆ 1. Il suffit d’écrire 1 1 − x = 1 + x + x2 + x3 + o(x3) ex = 1 + x + x2 2 + x3 6 + o(x3) et de faire la différence : 1 1 − x − ex = x2 2 + 5x3 6 + o(x3). 2. Il suffit d’écrire √ 1 + x = 1 + x 2 − x2 8 + x3 16 − 5x4 128 + o(x4) √ 1 − x = 1 − x 2 − x2 8 − x3 16 − 5x4 128 + o(x4) et de faire la somme : √ 1 + x + √ 1 − x = 2 − x2 4 − 5x4 64 + o(x4). 3. On écrit sin(x) = x − x3 6 + x5 120 + o(x6) cos(2x) = 1 − 2x2 + 2x4 3 + o(x5). Remarquons qu’il n’est pas nécessaire d’aller jusqu’à l’ordre 6 pour cos(2x) car tous les termes de son développement limité seront au moins multipliés par x, et on gagne un ordre. On en déduit, en effectuant le produit sin(x) cos(2x) = x − 13x3 6 + 121x5 120 + o(x6). 4. On écrit les développements limités cos x = 1 − x2 2 + x4 24 + o(x4) ln(1 + x) = x − x2 2 + x3 3 − x4 4 + o(x4) et on effectue le produit pour trouver (cos x) ln(1 + x) = x − x2 2 − x3 6 + o(x4). http://www.bibmath.net 1