Semaine 3 et 4 ALGEBRE LINEAIRE . RAPPELS Ce chapitre se contente de rappeller le cours de Sup 1 Espace vectoriel sur un corps K 1.1 Vocabulaire 1.2 Structure d’espace vectoriel De…nition 1 On appelle espace vectoriel sur K ou K�espace vectoriel tout en- semble E muni: � d’une loi de composition interne notée + telle que (E; +) soit un groupe abélien � d’une loi de composition externe notée . dé…nie sur K�E dans E jouissant des propriétés suivantes: – distributivité par rapport à la loi + sur E: 8�; � 2 K , 8x 2 E (� + �) :x = �:x + �:x – distributivité par rapport à la loi + sur K : 8� 2 K , 8x; y 2 E �:(x + y) = �:x + �:y – associativité: 8�; � 2 K , 8x 2 E (�:�) :x = �: (�:x) – 8x 2 E 1K:x = x � Tout élément de K est dit scalaire et tout élémenr de E est dit vecteur. Remark 2 On a: �:x = 0E , � = 0K ou x = 0E 8� 2 K; 8x 2 E (��) :x = � (�x) = � (�x) régle des signes Les exemples pullulent dans votre cours de Sup et ne manqueront pas dans votre cours de spé. De…nition 3 On dit qu’une partie non vide F d’un K�espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si 8�; � 2 K; 8x; y 2 F �:x + �:y 2 F: Proposition 4 Dans un K�espace vectoriel E l’intersection \i2IFi d’une famille non vide de sous espaces vectoriels (Fi)i2I est un sous espace vectoriel de E: Comme pour les groupes on dé…nit l’espace vectoriel engendré par une partie non vide. 1