Un problème complet d'algèbre linéaire NB : Ce problème est beaucoup trop long pour être traité dans le temps imparti. L'objectif d'un étudiant est d'arriver à faire plusieurs parties parmi les 6. Ces 6 parties sont largement indépendantes et quand une question d'une partie demande l'utilisation d'un résultat d'une partie précédente, l'énoncé le précise explicitement. La partie I est la plus simple, ensuite, c'est la partie III. Les questions précédées d'un astérisque (*) sont moins simples que celles qui précèdent ou qui suivent dans cette partie. On a utilisé les conventions typographiques suivantes : • Les matrices sont notées par des majuscules en italique : A par exemple. • Les vecteurs sont notés par des minuscules en italique : x par exemple. • Les endomorphismes sont notés par des minuscules en gras italique : u par exemple. • Les polynômes et les espaces vectoriels sont notés par des majuscules en italique : P par exemple. • Les bases et les systèmes sont dans une police cursive : B par exemple. Tous les espaces vectoriels utilisés sont de dimension finie. Partie I. Question I : Montrez que pour un endomorphisme u d'un espace vectoriel E, les sept propriétés suivantes sont équivalentes : i) L'endomorphisme u est une homothétie vectorielle, c'est-à-dire que pour un certain scalaire k on a, pour tout x de E, u(x) = kx. ii) Il existe deux constantes α et β telles que α ≠ 0 et αu + βIdE = 0. iii) Toute droite vectorielle D de E est stable par u. (i.e. : Dim(D) = 1 ⇒ u(D) ⊂ D). iv) Tout sous-espace vectoriel de E est stable par u. v) L'endomorphisme u a la même matrice dans toutes les bases de E. vi) L'endomorphisme u commute avec tous les endomorphismes de E (i.e. : ∀ v ∈ L(E) ⇒ u°v = v°u) vii) (*) L'endomorphisme u est soit 0 soit vérifie (∀ v,w ∈ L(E))(u = v°w ⇒ u = w°v) Question II. On considère un endomorphisme u : E → E où E est un R-espace vectoriel. On suppose que u vérifie u2 + IdE = 0. 1°) a) Montrez qu'il n'a pas de valeur λ et de vecteur x non nul tels que u(x) = λx. b) Soit x un vecteur non nul de E, montrez que les deux vecteurs x et u(x) ne sont pas colinéaires et que le plan vectoriel engendré par x et u(x) est stable par u. On notera u ce plan. c) Soit E' un sous-espace vectoriel de E stable par u. Montrez que si x est un vecteur non nul quelconque de E on a, soit u contenu dans E', soit E' et u en somme directe. Dans ce second cas, montrez que E' ⊕ u est encore stable par u. d) En déduire que E peut s'écrire comme une somme directe de plans stables par u. Indication : Appelez E' un sous-espace vectoriel de E qui est une somme directe de plans stables et qui est de dimension maximum, montrez que E' = E. Vous en déduirez que dans une base B bien choisie, la matrice MB(u) est de la forme : B = MB(u) =             � � � � � � � A 0 0 0 A 0 0 0 A avec A = 0 1 1 0 −       Plus généralement, montrez que tout sous-espace vectoriel de E stable par u est une somme directe de plans du type u. Quelle particularité arithmétique ont les dimensions de E et de tous les sous- espaces vectoriels de E stables par u ? Retrouvez cette particularité en utilisant les déterminants. CAPES Blanc du 20 octobre 2004 1