Espaces métriques compacts 1 Introduction La compacité est une notion qui, tout comme la complétude, nous permettra de nous assurer de l’existence de certains objets mathématiques. Elle permettra ainsi de prédir l’existence de la limite pour certaines suites ou l’existence des extremums pour une fonction numérique. Elle servira d’autre part a se ramener, partant d’une situa- tion présentant “un caractère infini” à une situation “finie” et exploitable. Les espaces compacts sont une généralisation, dans le cadre des espaces topologiques, de la notion d’intervalles fermés et bornés de IR . 2 Notions de base Dans tout le chapitre, on se place sur un espace métrique (X,d) . � désignera les éléments de la topologie sur X induite par d . Notation I désignera un ensemble quelconque (fini, dénombrable ou indénom- brable). Définition Soit � Ui � i � I �� (X). On dira que � Ui � i � I est un recouvrement ouvert de X si � i � I �Ui � � et que X  i � I Ui Remarque On parlera de recouvrement fini (resp. dénombrable, quelconque...) si I est fini (resp. dénombrable, quelconque...). Définition On remarquera qu’un espace métrique est toujours séparé, c’est à dire que si x et y � X, il existe toujours des ouverts Ox et Oy tel que x � Ox � y � Oy et Ox  Oy /0. (Il suffit de prendre des boules ouvertes d’un rayon suffisemment petit autour de x et de y). Définition On dira que (X,d) est un espace métrique compact si il vérifie: De tout recouvrement ouvert de X, on peut extraire un recouvrement fini.(C.a.d si X  i � I Ui alors il existe I0 � I de cardinal fini et tel que X  i � I0 Ui � On a la definition équivalente suivante: 1