Concours Centrale - Supélec 2009 Épreuve :MATHÉMATIQUES II FilièreMP a) Montrer que u1 est un ´el´ement de S++(Im(u)). b) Montrer que w est autoadjoint positif relativement `a φu−1 1 o`u φu−1 1 est le produit scalaire sur Im(u) d´efini dans les notations. I.B.2) D´eduire de la question pr´ec´edente que l’endomorphisme de Im(u◦v) induit par u ◦ v est diagonalisable et que son spectre est inclus dans R+. I.B.3) Montrer, `a l’aide de (1), que : E = Im(u ◦ v) ⊕ Ker(u ◦ v). I.B.4) Conclure. I.C - Cas particulier a d´esigne un ´el´ement de S++(E) et f un ´el´ement de L(E, F). I.C.1) a) Montrer qu’il existe un unique ´el´ement g de L(F, E) tel que, pour tout couple (x, y) de E × F, (f(x);;;y) = (x;;;g(y)). L’application g est not´ee f ∗. b) Montrer que : Ker(f ∗) = [Im(f)]⊥. c) En d´eduire que si une suite (zk)k d’´el´ements de Im(f) est telle que la suite (f ∗(zk))k converge vers 0, alors la suite (zk)k converge vers 0. d) Montrer que : f ∗ ◦ f ∈ S+(E). I.C.2) Montrer que a−1 ◦f ∗ ◦f est un endomorphismes diagonalisable de E et que son spectre est inclus dans R+. On note ρ sa plus grande valeur propre. I.C.3) Montrer que : ∀x ∈ E, ;;;;;;f(x);;;;;;2 ≤ ρ(a(x);;;x). Les calculatrices sont autoris´ees Notations n et m sont des entiers naturels v´erifiant 1 ≤ m ≤ n. E et F d´esignent les espaces vectoriels Rn et Rm munis de leur structure euclidienne canonique. On note IE l’application identit´e de E. Le produit scalaire est not´e (.;;;.) aussi bien dans E que dans F et la norme euclidienne est not´ee ;;;;;;.;;;;;;. S+(E) d´esigne l’ensemble des endomorphismes autoadjoints (ou sym´etriques) positifs de E, S++(E) le sous-ensemble constitu´e des endomorphismes autoadjoints d´efinis positifs. On rappelle que, si u ∈ S++(E), alors φu : (x, y) �→ (u(x);;;y) est un produit scalaire sur E. Partie I - Produit de deux endomorphismes autoadjoints positifs On se propose dans cette partie de montrer, en plus de quelques g´en´eralit´es, que si u et v sont des ´el´ements de S+(E), alors u ◦ v est diagonalisable et son spectre est inclus dans R+. I.A - G´en´eralit´es I.A.1) Montrer qu’un endomorphisme sym´etrique de E est dans S+(E) (resp. S++(E)) si et seulement si son spectre est inclus dans R+ (resp. R+∗). I.A.2) Montrer que si u ∈ S++(E), alors u−1 ∈ S++(E). I.A.3) Soit u ∈ S+(E). a) Montrer qu’il existe un ´el´ement s de S+(E) tel que u = s2. b) En d´eduire que : ∀x ∈ E, (u(x);;;x) = 0 ⇒ u(x) = 0. (1) I.B - Preuve du r´esultat u et v d´esignent des ´el´ements de S+(E). I.B.1) On note u1 et w les endomorphismes de Im(u) induits par u et u ◦ v res- pectivement. Page 1/3 - version du 23 f´evrier 2009 16h25