Introduction `a la th´eorie de Galois Transparents cours 1 Yves Laszlo ´Ecole polytechnique 27 janvier 2010 ´Evariste Galois, 1811-1832 Trois probl`emes classiques 1) Quadrature du cercle : construire `a la r`egle et au compas un disque d’aire 1. 2) Constructibilit´e `a la r`egle et au compas des polygones r´eguliers `a n cˆot´es. 3) R´esolution des ´equations polynomiales en n’utilisant que des expressions polynomiales en des racines n-i`emes successives de polynˆomes en les coefficients. D´efinition La dimension dimk L d’une k-alg`ebre L se note [L : k]. Si L est de plus un corps, la donn´ee de l’inclusion k ⊂ L est appel´ee une extension de corps. Point commun : les solutions de 1), 2) et 3) font intervenir la th´eorie des extensions de corps, 2) et 3) la th´eorie de Galois de ces extensions, un dictionnaire entre th´eorie des groupes et th´eorie des extensions de corps. Constructibilit´e `a la r`egle et au compas On se donne un ensemble X de n points du plan complexe euclidien C. D´efinition Les droites constructibles `a partir de X sont les droites (x, y), x ̸= y ∈ X. Les cercles constructibles `a partir de X sont les cercles C(x, ;;;y −z;;;) avec x, y, z ∈ X et y, z ∈ X distincts. Les points constructibles `a partir de X sont les points de X et ceux parmi les intersections propres entre droites ou cercles constructibles. Ceci permet de d´efinir r´ecursivement les points constructibles en d´eclarant que 0 et 1 sont constructibles. De mˆeme,les droites et cercles constructibles sont ceux obtenus r´ecursivement `a partir de R = (0, 1) et de C(0, 1), C(1, 0).