Solution des exercices 1 MODULE II.1 : COMPL ´EMENTS D’ALG`EBRE II.1.1 Si les ´el´ements (a, b) et (a′, b′) de Z∗ × N∗ sont ´equivalents, c’est-`a-dire si ab′ = ba′, alors vp(ab′) = vp(ba′) ⇒ vp(a) − vp(b) = vp(a′) − vp(b′). Ainsi, l’application (a, b) �→ vp(a) − vp(b) de Z∗ × N∗ dans Z est compatible avec la relation d’´equivalence, donc passe au quotient en une application a b �→ vp(a) − vp(b) de Q∗ dans Z. (Si l’on prolonge cette application `a Q par 0 �→ ∞, on obtient encore une valuation.) En revanche, les couples ´equivalents (1, 2) et (2, 4) ont pour images respectives par l’ap- plication (a, b) �→ a2 + 1 b2 + 1 les rationnels distincts 2 5 et 5 17 : cette application ne passe donc pas au quotient, et l’on ne peut d´efinir a b �→ a2 + 1 b2 + 1 de Q dans Q. II.1.2 Nous laisserons au lecteur le soin de v´erifier que la relation est bien r´eflexive et sym´etrique, ainsi que la relation rectifi´ee que nous allons d´efinir ; en effet, celle donn´ee dans l’´enonc´e n’est pas transitive, comme le montre l’exemple des couples (fi, Ji), avec : J1 := R, f1 := max(0, x2 − 1), J2 := ]−1, 1[, f2 := 0, J3 := R, f3 := −f1. Nous dirons donc que : (f1, J1) ∼ (f2, J2) ⇐⇒ (f1);;;K = (f2);;;K o`u K ⊂ J1∩J2 est un intervalle ouvert contenant a. La r´eflexivit´e et la sym´etrie sont encore ´evidentes, prouvons la transitivit´e. Supposons donc que (f1, J1) ∼ (f2, J2) et (f2, J2) ∼ (f3, J3), les intervalles de co¨ıncidence ´etant K ⊂ J1 ∩ J2 et K′ ⊂ J2 ∩ J3. Alors K′′ := K ∩ K′ est un intervalle ouvert contenant a et contenu dans J1 ∩ J3 et sur lequel f1 et f3 co¨ıncident, d’o`u (f1, J1) ∼ (f2, J2) et la transitivit´e. Montrons la compatibilit´e `a gauche de cette relation et de l’addition (qui est commutative). On suppose que (f1, J1) ∼ (f ′ 1, J′ 1), avec intervalle de co¨ıncidence K . Pour comparer (f1, J1) + (f2, J2) `a (f ′ 1, J′ 1) + (f2, J2), il suffit de v´erifier que f1 + f2 et f ′ 1 + f2 sont d´efinies et ´egales sur L := K ∩ J2 ⊂ (J1 ∩ J2) ∩ (J′ 1 ∩ J2), et que L est bien un intervalle ouvert contenant a ; c’est imm´ediat. Le cas de la multiplication se traite pareillement. Il est clair que, si (f1, J1) ∼ (f2, J2), alors f1(a) = f2(a) ; l’application (f, J) �→ f(a) est donc compatible avec la relation d’´equivalence, et passe donc au quotient. De mˆeme, si f1 et f2 sont k fois d´erivables et ´egales sur un intervalle ouvert contenant a, alors leurs d´eriv´ees en a jusqu’`a l’ordre k sont ´egales. II.1.3 On a (par exemple) 1 ̸≡9 4, mais 3 × 1 ≡9 3 × 4, donc 3 n’est plus r´egulier apr`es passage au quotient par ≡9. En fait, si n ∈ N∗, dire que a ∈ N est r´egulier apr`es passage au quotient par ≡n, c’est dire que l’image de a dans Z/nZ est simplifiable, c’est-`a-dire que a est premier avec n.