Espaces topologiques connexes 1 Introduction Tout comme les espaces compacts représentaient une généralisation de la notion d’ensembles fermés et bornés dans des espaces non métriques, les espaces connexes seront une généralisation de la notion d’ensemble d’un seul tenant (comme, par exemple, les boules de IR n). Ceci nous permettra de formuler un théorème des va- leurs intermédiaire généralisé. La place des espaces connexes est fondamental en analyse car, une propriété topolo- gique (ou analytique) vérifiée localement par un objet sur des espaces de ce type le sera sur l’espace tout entier. Les espaces connexes permettent de transformer une propriété locale en une propriété globale. Cette outil sera souvent utilisé par la suite et dans des leçons aussi diverses que celles touchants au calcul différentiel que celles concernants les fonctions holomorphes (et autre...). 2 Espaces topologiques connexes Dans tout ce chapitre (X, �� et (Y, ��� désignent des espaces topologiques. Proposition On dira que l’espace topologique (X, �� est connexe s’il vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes. 1. Si X est réunion de deux ouverts disjoints alors l’un de ces deux ouverts est vide et l’autre égale à X. 2. Si X est réunion de deux fermés disjoints alors l’un de ces deux fermés est vide et l’autre égale à X. 3. Si l’on considère � 0 � 1 � muni de la topologie discrète et f : X  � 0 � 1 � une application continue, alors f est constante sur X. 4. Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui même et l’en- semble vide. Démonstration 1  2 est évident par passage au complémentaire . 1  3 : Soit f un application continue de X dans � 0 � 1 � . Alors � f  1  0 � ; f  1  1 � � repré- sente une partition de E en deux ouverts (ou deux fermés) de E . Par conséquent, l’un de ces deux ouverts est vide et l’autre égale à X tout entier, ce qui implique bien que f est constante sur X. 3  1 : Soient U1 et U2 deux ouverts de X qui définissent une partition de X. Soit aussi f : X � 0 � 1 � définie par f  U1 � � 0 � et f  U2 � � 1 � . f est continue et donc constante sur X. Donc l’un des deux ouverts est vide et l’autre égale à X tout entier.Cqfd 1  4 : Soit U un sous ensemble à la fois ouvert et fermé de X. Alors Uc est, lui aussi, un sous ensemble ouvert et fermé de X. Mais U et Uc définissent une partition de X en deux ouverts. X étant connexe U est ou vide ou égale à X tout entier. 1