FEUILLE 1 : ESPACES VECTORIELS 1. Dans l’espace vectoriel F(R, R) de toutes les fonctions d´efinies sur R `a valeurs r´eelles, muni des lois usuelles, ´etudier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de F(R, R) : F0 = {f ;;; f(0) = 0} , S = {f deux fois d´erivable ;;; f′′ + f = 0} F1 = {f ;;; f(0) = 1} , I = � f continue ;;; 1� 0 f(t) dt = 0 � B = {f born´ee} , Eℓ = � f continue ;;; lim x�→±∞ f(x) = ℓ � 2. On consid`ere l’espace vectoriel F(N, R) des suites de nombres r´eels. (a) Montrer que l’ensemble des suites qui convergent vers z´ero est un sous-espace vectoriel. (b) Montrer que l’ensemble des suites born´ees est un sous-espace vectoriel. (c) L’ensemble des suites convergentes est-il un sous-espace vectoriel ? 3. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et de base B = (e1, e2). Les syst`emes de vecteurs suivants de E sont-ils des syst`emes libres ou li´es? Sont-ils des bases ? Pour chacun de ces syst`emes, donner son rang. Pour les syst`emes li´es en extraire un syst`eme libre et pour les syst`emes libres les compl´eter par des vecteurs de B pour obtenir une base de E. 1) (2e1 + e2 , −e1 + e2) ; 2) (−6e1 + 2e2 , 9e1 − 3e2) ; 3) (2e2 , e1 + 2e2 , −e1 + 2e2). 4. Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et de base B = (e1, e2, e3). Pour chacun des syst`emes de vecteurs suivants de E, r´epondre aux mˆemes questions que dans l’exercice pr´ec´edent. 1) (e1 + e2 + e3 , −e1 + e2 + e3) ; 2) (e1 − e3 , −e1 + e2 , −e2 + e3) ; 3) (e1 + e2 + e3 , 2e1 − e2 + 2e3 , e1 − 2e2 − e3) ; 5. Soit R3 muni de sa base canonique. Pour chacun des syst`emes de vecteurs suivants de R3, r´epondre aux mˆemes questions que dans l’exercice pr´ec´edent. 4) ((10, −5, 15) , (−4, 2, −6)) ; 5) ((1, 1, 0) , (0, 1, 1) , (1, 0, 1) , (−1, 1, 1)). 6. Soit E un espace vectoriel sur R de dimension 4 de base (e1, e2, e3, e4). On consid`ere les vecteurs de E suivants : u1 = 2e1 + e2 + 3e4, u2 = 3e1 − e2 + 5e3 + 2e4, u3 = −e1 + 2e3 + e4 Le vecteur v = 2e1 + 3e2 − 7e3 + 3e4 appartient-il au sous-espace vectoriel F engendr´e par u1, u2, u3? D´eterminer une base de F. Dans le cas o`u v ∈ F, d´eterminer les coordonn´ees de v dans cette base. 7. Soit E un espace vectoriel sur C de dimension 3 et de base (e1, e2, e3). On consid`ere les vecteurs de E suivants : u1 = (1 − i)e1 + ie2 + (1 + i)e3, u2 = −e1 + e2 + 3e3, u3 = (1 − i)e1 + ie2 + ie3 (a) Montrer que (u1, u2, u3) est une base de E. 1