Chapitre 1 INTRODUCTION A LA MOD´ELISATION MATH´EMATIQUE ET A LA SIMULATION NUM´ERIQUE Exercice 1.2.1 On suppose que la donn´ee initiale θ0 est continue et uniform´ement born´ee sur R. V´erifier que θ(t, x) = 1 √ 4πνt � +∞ −∞ θ0(y) exp � −(x − V t − y)2 4νt � dy (1.1) est bien une solution de � ∂θ ∂t + V ∂θ ∂x − ν ∂2θ ∂x2 = 0 pour (x, t) ∈ R × R+ ∗ θ(t = 0, x) = θ0(x) pour x ∈ R (1.2) Correction. Afin de montrer que θ(t, x) est une fonction r´eguli`ere et d´eterminer ses d´eriv´ees partielles, on souhaite appliquer le th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme. A cet effet, on pose G(x, t, y) = exp � − (x−V t−y)2 4νt � . On a ∂G ∂x = −x − V t − y 2νt G(x, t, y) ∂2G ∂x2 = � − 1 2νt + (x − V t − y)2 4ν2t2 � G(x, t, y) ∂G ∂t = (x + V t − y)(x − V t − y) 4νt2 G(x, t, y). Pour tout x de R et tout t > 0, il existe des constantes C(x, t) et β(x, t) positives telles que si z est suffisamment proche de x, ���� ∂G ∂x (z, t, y) ���� ≤ C(x, t)(1 + ;;;y;;;) exp (−β(x, t)y) . 1