UNIVERSIT´E de RENNES 1 Licence de Math´ematiques (ann´ee 2006/07) C01 : Etude Globale des Fonctions Jacques Camus et Christophe Cheverry Ce cours intitul´e Etude Globale des Fonctions a ´et´e enseign´e en 2005/06 et en 2006/07 `a l’universit´e Rennes I sous le sigle C01. Il s’adresse `a des ´etudiants en L2. Pour ˆetre abord´e certains pr´erequis sont n´ecessaires. Les pr´erequis sont ceux qui, dans les programmes de math´ematiques jusqu’au niveau L1 inclus, se rapportent au domaine de l’Analyse. En particulier, les notions de fonction, de limite et de suite sont suppos´ees avoir d´ej`a ´et´e assimil´ees. Ce cours se r´epartit en sept chapitres. Les deux premiers s’int´eressent aux propri´et´es induites par la r´egularit´e ou la convexit´e des fonctions. Le troisi`eme reprend la d´efinition des fonctions logarithme et exponentielle et met `a plat un certain nombre de leurs caract´eristiques. Les quatre derniers chapitres se rapportent `a l’int´egration des fonctions. Ils reposent sur la construction de l’int´egrale de Riemann et aboutissent `a la notion cl´e d’int´egrale g´en´eralis´ee, sans oublier d’explorer les liens qui unissent les proc´ed´es d’int´egration et de sommation, ou encore de d´ecrire ce qui se produit en pr´esence de param`etres. Un examen (page suivante) de la Table des mati`eres donne une vision globale des th`emes abord´es. Il permet aussi, selon le besoin, de rep´erer facilement l’emplacement o`u tel aspect du sujet se trouve trait´e. Chaque chapitre est destin´e `a introduire un concept nouveau, en r´eponse `a une question pos´ee dans son intro- duction. La discussion s’ouvre le plus souvent par des rappels ou autres pr´eliminaires. Ensuite vient le corps du texte compos´e de Propositions et de Th´eor`emes. Ceux-ci sont illustr´es par de nombreux exemples et applica- tions. Ils sont aussi accompagn´es d’exercices, de QCM et de probl`emes donn´es sans preuve car destin´es `a ˆetre trait´es en Travaux Dirig´es. Les preuves des ´enonc´es ont ´et´e r´edig´ees avec un soin tout particulier. Elles sont presque toujours (dans les pages qui suivent) compl`etes et d´etaill´ees alors qu’elles sont parfois (durant les s´eances en amphitheˆatre) juste ´ebauch´ees. Ce flottement (du `a la densit´e des programmes par rapport aux horaires attribu´es) induit une fausse perception de la part des ´etudiants, `a savoir que les d´emonstrations sont facultatives et donc qu’elles peuvent ˆetre n´eglig´ees. A tort, car celles-ci sont bien au contraire essentielles `a tout bon apprentissage. C’est avant tout en comprenant et en reprenant chez soi les preuves (suivant son propre cheminement et quitte `a faire des erreurs) que l’´etudiant peut se familiariser personnellement, progressivement avec les nouveaux ´el´ements de connaissance qui lui sont pr´esent´es. Pr´ecis´ement, l’objectif de ce texte est de pallier les ´eventuelles lacunes des expos´es oraux et de rem´edier aux mauvaises prises de notes. Le contrat implicite est que tout ce qui est dit en cours doit ˆetre connu tandis que tout ce que contient ce texte doit avoir ´et´e vu. La plupart des exercices sont positionn´es en support de la notion qui vient d’ˆetre introduite. Cela permet de tester en direct le nouveau concept et ainsi d’en faciliter l’assimilation. Le risque toutefois est d’utiliser une connaissance en se r´ef´erant au seul fait qu’elle vient d’ˆetre ´etudi´ee. Pour rem´edier `a cet inconv´enient, des QCM et des probl`emes sont aussi propos´es (souvent en fin de chapitre). Ils sont l’occasion de faire le point sur ce qu’on a effectivement appris et de savoir ce qu’on devrait encore travailler ... Bien sˆur, les r´esultats expos´es ici sont classiques. Du coup, il est vivement conseill´e de compl´eter ses efforts en consultant d’autres ouvrages d’enseignement, en ayant recours `a d’autres sources d’information. On peut par exemple puiser dans la liste de r´ef´erences plac´ee ci-joint en bibliographie. R´ef´erences [1] Bourbaki N., El´ements de math´ematique. Fonctions d’une variable r´eelle, chapitres 1 `a 7, Hermann (1949). 1