- 1 / 3 - EEnnsseem mbbllee oorrddoonnnnéé II.. RReellaattiioonn dd’’oorrddrree E désigne un ensemble. 11°°)) DDééffiinniittiioonn Déf : On appelle relation binaire R sur E toute propriété vraie pour certain couples ( , ) x y d’éléments de E et fausse pour les autres. Lorsqu’un couple ( , ) x y vérifie la relation R , on écrit x y R . Sinon, on écrit x y R . Déf : Soit R une relation binaire sur E . On dit que R est réflexive ssi , x E x x ∀ ∈ R . On dit que R est symétrique ssi , , x y E x y y x ∀ ∈ ⇔ R R . On dit que R est antisymétrique ssi , x y E ∀ ∈ , x y R et y x x y ⇒ = R . On dit que R est transitive ssi , , x y z E ∀ ∈ , x y R et y z x z ⇒ R R . Déf : Une relation binaire à la fois réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d’équivalence. Déf : On appelle relation d’ordre sur un ensemble E , toute relation binaire à la fois réflexive, antisymétrique et transitive. Une relation d’ordre est usuellement notée � à défaut d’autres notations. 22°°)) EEnnsseem mbbllee oorrddoonnnnéé Déf : On appelle ensemble ordonné tout couple ( , ) E � formé d’un ensemble E et d’une relation d’ordre � sur E . Déf : Soit ( , ) E � un ensemble ordonné. On appelle ordre inverse associé à � la relation � définie par : x y y x ⇔ � � . On appelle ordre strict associé à � la relation ≺ définie par : x y x y ⇔ ≺ � et x y ≠ . 33°°)) O Orrddrree ttoottaall,, oorrddrree ppaarrttiieell Déf : Soit ( , ) E � un ensemble ordonné. Deux éléments x et y de E sont dits comparables ssi x y � ou y x � . Déf : Soit ( , ) E � un ensemble ordonné. On dit que l’ordre � est total ssi tous les éléments de E sont deux à deux comparables. On dit alors que ( , ) E � est un ensemble totalement ordonné. Sinon, on parle d’ordre partiel et d’ensemble partiellement ordonné. 44°°)) DDeeuuxx rreellaattiioonnss dd’’oorrddrree ssuurr RR²² IIII.. RReellaattiioonn dd’’oorrddrree eett ssoouuss eennsseem mbblleess 11°°)) PPaarrttiiee m miinnoorrééee,, ppaarrttiiee m maajjoorrééee Soit ( , ) E � un ensemble ordonné et A une partie de E . Déf : On appelle majorant de A (resp. minorant), s’il en existe, tout élément M E ∈ tel que , a A a M ∀ ∈ � (resp. M a � ). On note Majo( ) A (resp. Mino( ) A ) l’ensemble de ces éléments. Déf : La partie A est dite majorée (resp. minorée) ssi elle possède un majorant (resp. minorant). Une partie majorée et minorée est dite bornée. 22°°)) EExxttrreem muum m dd’’uunnee ppaarrttiiee Soit ( , ) E � un ensemble ordonné et A une partie de E . Déf : On appelle plus grand élément de A (resp. plus petit élément), s’il en existe, tout élément M A ∈ tel que , a A a M ∀ ∈ � (resp. M a � ). Prop : Si A admet un plus grand élément (resp. plus petit élément) celui-ci est unique. On le note max( ) A (resp. min( ) A )