Chapitre 1 Topologie 1.1 Espaces topologiques 1.1.1 Cas le plus général d’espace topologique Définition 1 (Topologie) Une topologie T sur l’ensemble X est une partie T ⊂ P(X) vérifiant : • L’ensemble vide ∅ et X sont dans T • T est stable par réunions arbitraires • T est stable par intersections finies Un tel couple (X, T ) est appelé espace topologique. Les éléments de T sont appelés les ouverts de la topologie. Une partie de X est dite fermée si son complémentaire est ouvert. Exemples : • La topologie discrète sur l’ensemble X est la topologie Td = P(X) • La topologie grossière sur l’ensemble X est la topologie Tg = {∅, X} • Sur N = N ∪ {+∞}, la topologie usuelle est l’ensemble des U tels que U ⊂ N ou +∞ ∈ U ∧ N \ U est cofini. On verra aussi d’autres exemples en parties 1.1.2 et 1.2. Proposition 2 Si X est un espace topologique alors • X et ∅ sont des fermés de X • Une intersection quelconque de fermés est un fermé • Une union finie de fermés est un fermé 1